设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少

设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少
设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少

设a>0,试问a取何值时y=a+(1/a)-根号下a²+(1/a²)+1的值最大,最大值为多少
y=a+1/a-√(a²+1/a²+1)
令t=a+1/a
∵a>0,∴a+1/a≥2√(a*1/a)=2
当a=1时,取等号
∴t≥2
∴y=t-√(t²-1)
=1/[t+√(t²-1)] 【分子有理化】
∵t,和√(t²-1)均是[2,+∞)上的增函数
∴t+√(t²-1) 是关于t的增函数
∴y=1/[t+√(t²-1)] 是减函数
∴t=2时,即a=1时,y取得最大值2-√3