已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求：1、当│OA││OB│最小时L的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 08:38:45
已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求：1、当│OA││OB│最小时L的方程
已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求：
1、当│OA││OB│最小时L的方程
已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求：1、当│OA││OB│最小时L的方程
解法1.设此直线方程为x/a+y/b=1,（a,b都是正数）
直线过p(2,1),2/a+1/b=1,得b=a/（a-2）,a≠2,
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/（a-2）,即t=a²/（a-2）,
因为a≠2,所以a²-ta+2t=0,a是实数,
⊿=t²-8t≥0,因为t＞0,可得S≥8.
即t的最小值是8,
此时有a=4,b=2,
直线L方程为x/4+y/2=1,即x+2y-4=0.
解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2）,k＜0.
得A（（2k-1）/k,0）,B（0,-（2k-1））,
t=│OA││OB│=| （2k-1）/k*【-（2k-1）】|
=| （4k²+1-4k）/k|
=| 4k+1/k-4|,
因为k＜0,-4k-1/k＞0,
由均值不等式,-4k-1/k≥2√（-4k）（-1/k）=4,
4k+/k-4≤ -8,t≤ |-8|=8,
当且仅当-4k=-1/k,即k=-1/2 （k＜0）时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2）,
即x+2y-4=0.
设y=kx+b，因为交点在正版轴上，故k不可能为0，切OA长为y=0时，x=-b/k，OA长-b/k,OB长为b，切直线过（2，1）带入，得1=2k+b,k=(1-b)/2，所以OA×OB=-b/[(1-2b)/2]×b,整理一下得-2b方/(1-b),再变式，得OA×OB=2（b-1）+4+2/(b-1)
这一步最难，目的就是要把式子变化成一个可以用a+b>=2根号ab的形式来计算最小值...
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设y=kx+b，因为交点在正版轴上，故k不可能为0，切OA长为y=0时，x=-b/k，OA长-b/k,OB长为b，切直线过（2，1）带入，得1=2k+b,k=(1-b)/2，所以OA×OB=-b/[(1-2b)/2]×b,整理一下得-2b方/(1-b),再变式，得OA×OB=2（b-1）+4+2/(b-1)
这一步最难，目的就是要把式子变化成一个可以用a+b>=2根号ab的形式来计算最小值，为了使最小值为常数，因此变式要让a分子和b的分母约掉，我变成的式子里a的分子含有b-1,b的分母含有（b-1）
再接着算，就比较容易了，2（b-1）+4+2/(b-1)>=2根号{2（b-1）×2/[(b-1)]}+4,当2（b-1）=2/(b-1)的时候可以取最小值，既b=2,则k=-1/2，所以方程为y=-1/2x+2
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