如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求二面角P-BC-A的大小．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 09:28:25
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求二面角P-BC-A的大小．
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求二面角P-BC-A的大小．
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求二面角P-BC-A的大小．
（1）取CD中点G,连接BG、EG
用中位线性质证明EG//PD
用全等证明BG//DF
于是平面PDF//平面BGE
最后得到BE//平面PDF
（2）连接BD,易知三角形ABD为等边三角形
由三线合一得到DF⊥AB
而由PA⊥平面ABCD知PA⊥DF,即DF⊥PA
由此可知DF⊥平面PAB
又DF属于平面PDF
所以平面PDF⊥平面PAB
（3）过A作BC延长线的垂线交于H,连接PH
因PA⊥平面ABCD,易知PA⊥BC
于是BC⊥平面PAH,进而知PH⊥BC
所以∠PHA即为二面角P-BC-A的平面角
在RT三角形PAH中
由全等或勾股定理易知AH=√3
由三角函数定义知tan∠PHA=PA/AH=√3/3
即∠PHA=30°
证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
全部展开
证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF⊂平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）过点A做AH⊥CB延长线于H，因为PA⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中PA=1，AH=
3，所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小为30°．
收起