已知点P是双曲线Xˆ2/4-Yˆ2/12＝1右支上的任意一点,F1F2分别是它的左右焦点,如果∠PF1F2＝α∠PF2F1＝β 求证3tan(α/2)=tan(β/2)

已知点P是双曲线Xˆ2/4-Yˆ2/12＝1右支上的任意一点,F1F2分别是它的左右焦点,如果∠PF1F2＝α∠PF2F1＝β 求证3tan(α/2)=tan(β/2)
已知点P是双曲线Xˆ2/4-Yˆ2/12＝1右支上的任意一点,F1F2分别是它的左右焦点,如果∠PF1F2＝α∠PF2F1＝β 求证3tan(α/2)=tan(β/2)

已知点P是双曲线Xˆ2/4-Yˆ2/12＝1右支上的任意一点,F1F2分别是它的左右焦点,如果∠PF1F2＝α∠PF2F1＝β 求证3tan(α/2)=tan(β/2)
c=4 m-n=4
m-n/sinβ-sinα=2c/(α+β)
[根据正玄定理 合比性质】
sin（α+β）=2（sinβ-sinα）
再根据二倍角公式和和差化积可证

利用三角形内心的性质
设ΔPF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2分别切于A,B,C
则|PF1|-|PF2|=|PA|+|AF1|-|PB|-|BF2|=|F1C|-|F2C|=2a
得xC=a即内心的坐标为(a,r) 设为O点
则∠OF1C=α/2 ∠OF2C=β/2
tan(α/2)=r/(a+c)=r/6 tan(β/2)=r/(c-a)=r/2
得3tan(α/2)=tan(β/2)