已知△ABC 已知a平方cosB平方+b平方cosA平方=2abcosAcosB 证明△ABC为等腰三角形

已知△ABC 已知a平方cosB平方+b平方cosA平方=2abcosAcosB 证明△ABC为等腰三角形
已知△ABC 已知a平方cosB平方+b平方cosA平方=2abcosAcosB 证明△ABC为等腰三角形

已知△ABC 已知a平方cosB平方+b平方cosA平方=2abcosAcosB 证明△ABC为等腰三角形
移项
是完全平方
(acosB-bcosA)²=0
acosB=bcosA
a/sinA=b/sinB
a/b=sinA/sinB=cosA/cosB
sinAcosB-cosAsinB=0
sin(A-B)=0
A-B=0
等腰三角形

a^2cosB^2+b^2cosA^2=2abcosAcosB
(acosB)^2+(bcosA)^2-2acosAbcosB=0
(acosB-bcosA)^2=0
所以acosB=bcosA
由正弦定理，a=RsinA , b=RsinB,
则 sinAcosB=sinBcosA,
sinA/cosA=sinB/cosB
tanA=tanB
A=B
所以△ABC为等腰三角形

证：
a平方cosB平方+b平方cosA平方=2abcosAcosB
(a^2)(cosB)^2+(b^2)(cosA)^2=2abcosAcosB
(acosB)^2-2abcosAcosB+(bcosA)^2=0
(acosB-bcosA)^2=0
acosB-bcosA=0
acosB=bcosA
a=bcosA/cosB………………(...

全部展开

证：
a平方cosB平方+b平方cosA平方=2abcosAcosB
(a^2)(cosB)^2+(b^2)(cosA)^2=2abcosAcosB
(acosB)^2-2abcosAcosB+(bcosA)^2=0
(acosB-bcosA)^2=0
acosB-bcosA=0
acosB=bcosA
a=bcosA/cosB………………(1)
由正弦定理，有：a/sinA=b/sinB
得：a=bsinA/sinB
代入(1)：bsinA/sinB=bcosA/cosB
整理，得：tanA=tanB
所以：A=B
所以，△ABC是等腰三角形。
证毕。

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