G是阶为10的非交换群,求G.

G是阶为10的非交换群,求G.
G是阶为10的非交换群,求G.

G是阶为10的非交换群,求G.
阶为10的5面体群.（考虑同构）
首先设a属于G,不等于单位远e.G的阶为10,则a的阶为2,5或10.若是10,则G=为交换群,矛盾.类似a不可能同时阶为5.
又设所有G的所有元素都为2阶,则每个a的逆阶也为2,则G=因此G的阶为奇数,不可能是10.
因此,G的元素又有2阶又有5阶,设a为2阶,b为5阶.
则可以表达G为：{e,b,b2,b3,b4,a,ba,b2a,b3a,b4a},因为a=b前半部分是a的旁集,后半部分是b的旁集,由旁集的定义和性质.
那根据封闭性,ba也必须在里面,接下来就找到ba,b2a,b3a是啥等等就完事了.
设ab=a,则b=e,矛盾.设ab=b2,则b等于a,矛盾.类似ba不等于b的任何次方.
设ab=b,a=e,矛盾.设ba=ab,则为交换群,矛盾.
设ab=b2a,则abab=b2aab=b3,b3阶为5,因此ab的阶为5.而ab的五次方=(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)
等于a不等于e.
类似的ab=b3a利用元素的阶也可证明矛盾.
因此,ab=b4a=b-1a.
因此,G={e,b,b2,b3,b4,a,ba,b2a,b3a,b4a},且满足ab=b-1a,b-1ab=a.
因此G与5阶2面体群同构.