已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0过C的左焦点F1作弦AB,求AB中点的轨迹求C的斜率为1的平行弦的中点轨迹

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/28 23:08:51
已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0过C的左焦点F1作弦AB,求AB中点的轨迹求C的斜率为1的平行弦的中点轨迹已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0过C的左焦

已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0过C的左焦点F1作弦AB,求AB中点的轨迹求C的斜率为1的平行弦的中点轨迹
已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0
过C的左焦点F1作弦AB,求AB中点的轨迹
求C的斜率为1的平行弦的中点轨迹

已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0过C的左焦点F1作弦AB,求AB中点的轨迹求C的斜率为1的平行弦的中点轨迹
标准化:x²/5+y²=1
易得c=2,所以左焦点F1(-2,0);
1、设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0;
点A,B在椭圆x²+5y²=5上,
所以:x1²+5y1²=5,x2²+5y2²=5
点差:x1²-x2²+5(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0
2x0(x1-x2)=-10y0(y1-y2)
-x0/5y0=(y1-y2)/(x1-x2) ①
(y1-y2)/(x1-x2)表示的是AB的斜率,
因为点F1(-2,0)和点M(x0,y0)也在AB上,
所以,AB 的斜率也可以用y0/(x0+2)来表示,即(y1-y2)/(x1-x2)=y0/(x0+2),代入①式
得:-x0/5y0=y0/(x0+2)
-x0(x0+2)=5y0²
-x0²-2x0=5y0²
即x0²+2x0+5y0²=0,
(x0+1)²+5y0²=1,(这其实是一个椭圆,中心是(-1,0))
所以,AB中点的轨迹是一个椭圆,轨迹方程为:(x+1)²+5y²=1;
2、设弦的端点是A,B;A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0;
点A,B在椭圆x²+5y²=5上,
所以:x1²+5y1²=5,x2²+5y2²=5
点差:x1²-x2²+5(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0
2x0(x1-x2)=-10y0(y1-y2)
-x0/5y0=(y1-y2)/(x1-x2)
(y1-y2)/(x1-x2)表示的是AB的斜率,
因为AB的斜率=1;
所以:(y1-y2)/(x1-x2)=1
则-x0/5y0=1
得:y0=-x0/5 (x0是有范围的,自己去求一下)