《线性代数（一）》2011年下半年第二次,六.(14分) 设 ,A=｛ 0 1/2 1/21/2 0 1/21/2 1/2 0 ｝（1）求非奇异矩阵P ,使P-1（-1是代表负一次方）AP 为对角矩阵.（2）求正交矩阵Q ,使Q-1（-1是代表负一次方)=QT

《线性代数（一）》2011年下半年第二次,六.(14分) 设 ,A=｛ 0 1/2 1/21/2 0 1/21/2 1/2 0 ｝（1）求非奇异矩阵P ,使P-1（-1是代表负一次方）AP 为对角矩阵.（2）求正交矩阵Q ,使Q-1（-1是代表负一次方)=QT
《线性代数（一）》2011年下半年第二次,
六.(14分) 设 ,A=｛ 0 1/2 1/2
1/2 0 1/2
1/2 1/2 0 ｝
（1）求非奇异矩阵P ,使P-1（-1是代表负一次方）AP 为对角矩阵.
（2）求正交矩阵Q ,使Q-1（-1是代表负一次方)=QT (T代表T次方)AQ 为对角矩阵

《线性代数（一）》2011年下半年第二次,六.(14分) 设 ,A=｛ 0 1/2 1/21/2 0 1/21/2 1/2 0 ｝（1）求非奇异矩阵P ,使P-1（-1是代表负一次方）AP 为对角矩阵.（2）求正交矩阵Q ,使Q-1（-1是代表负一次方)=QT
|A-λE| =
-λ 1/2 1/2
1/2 -λ 1/2
1/2 1/2 -λ
c1+c2+c3
1-λ 1/2 1/2
1-λ -λ 1/2
1-λ 1/2 -λ
r2-r1,r3-r1
1-λ 1/2 1/2
0 -λ-1/2 0
0 0 -λ-1/2
= (1-λ)(λ+1/2)^2.
所以A的特征值为 1,-1/2,-1/2.
(A-E)X=0 的基础解系为:a1=(1,1,1)^T.
A+(1/2)E =
1/2 1/2 1/2
1/2 1/2 1/2
1/2 1/2 1/2
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
(A+(1/2)E)X=0 的基础解系为:a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T.
令 P=(a1,a2,a3) =
1 1 1
1 -1 1
1 0 -2
则P是可逆矩阵,且 P^-1AP = diag(1,-1/2,-1/2).
将a1,a2,a3单位化得:
b1=(1/√3,1/√3,1/√3)^T
b2=(1/√2,-1/√2,0)^T
b3=(1/√6,1/√6,-2/√6)^T
令 Q=(b1,b2,b3) =
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则Q是正交矩阵,即 Q^-1=Q^T
且 Q^-1AQ = diag(1,-1/2,-1/2).