观察下面式子1²+(1×2)²+2²=9=3²2²+(2×3)²+3²=49=7²3²+(3×4)²+4²=169=13²4²+(4×5)²+5²=441=21²你发现了什么规律?用数学语言表示,并加以说明

观察下面式子1²+(1×2)²+2²=9=3²2²+(2×3)²+3²=49=7²3²+(3×4)²+4²=169=13²4²+(4×5)²+5²=441=21²你发现了什么规律?用数学语言表示,并加以说明
观察下面式子
1²+(1×2)²+2²=9=3²
2²+(2×3)²+3²=49=7²
3²+(3×4)²+4²=169=13²
4²+(4×5)²+5²=441=21²
你发现了什么规律?用数学语言表示,并加以说明

观察下面式子1²+(1×2)²+2²=9=3²2²+(2×3)²+3²=49=7²3²+(3×4)²+4²=169=13²4²+(4×5)²+5²=441=21²你发现了什么规律?用数学语言表示,并加以说明
对于正整数n,有 n² + [n×(n+1)]² + (n+1)² = [n×(n+1)+1]²
证明：
n² + [n×(n+1)]² + (n+1)²
= n² + n²(n+1)² + (n+1)²
= n²(n+1)² + 2n² + 2n + 1
= n²(n+1)² + 2n(n+1) + 1
= [n(n+1)+1]²

n²+(n×(n+1))²+(n+1)²=(n×(n+1)+1)²;(n∈N﹢)

n^2+(n*(n+1))^2+(n+1)^2=(n*(n+1)+1)^2

连续两个自然数的平方和加上这两个数的乘积的平方=（两个数的乘积+1）的平方
即n²+(n×(n+1))²+(n+1)²=(n×(n+1)+1)²;(n∈N﹢)
望采纳

a²+(a×(a+1))²+(a+1)²=(a²+a+1)²
左=a^4+2a^3+3a^2+2a+1=右 得证

n*n+【n*(n+1)】*【n*(n+1)】+【n+1】*【n+1】=【n*(n+1)+1】*【n*(n+1)+1】
备注：专业符号不会打，请见谅！