f(x)为定义在R上的非0函数,有f（x+y）=f（x）*f(y),且f'(0)=1,求f（x）

f(x)为定义在R上的非0函数,有f（x+y）=f（x）*f(y),且f'(0)=1,求f（x）
f(x)为定义在R上的非0函数,有f（x+y）=f（x）*f(y),且f'(0)=1,求f（x）

f(x)为定义在R上的非0函数,有f（x+y）=f（x）*f(y),且f'(0)=1,求f（x）
f(x+y)=f(x)*f(y)
令x=y=0：f(0)=f^2(0),则,f(0)=1或f(0)=0
同时f(x)为非零函数,故：f(0)=1
而,
f'(x)
=lim(△x→0) (f(x+△x)-f(x)) / △x
=lim(△x→0) f(x)*(f(△x)-1) / △x
=f(x) * lim(△x→0) (f(△x)-1) / △x
=f(x) * lim(△x→0) (f(0+△x)-f(0)) / △x
=f(x) * f'(0)
=f(x)
那么,
f'=df/dx=f
df/f=dx
同积分：
∫ 1/f df = ∫ dx
ln(f(x))=x+c
同取为指数：
f(x)=e^(ln(f(x)))=e^(x+c)
因此,f(x)=e^(x+c)
再代入初值条件：f'(0)=1,即得：f(x)=e^x
验证：
f'(0)=e^(0)=1
f(x+y)=e^(x+y)=e^x * e^y=f(x) * f(y)
有不懂欢迎追问