y"+y'=X²-1的通解y"+y'=x²-1的通解

y"+y'=X²-1的通解y"+y'=x²-1的通解
y"+y'=X²-1的通解
y"+y'=x²-1的通解

y"+y'=X²-1的通解y"+y'=x²-1的通解
齐次方程的特征方程为a^2+a=0,解为a=0和a=--1,
因此通解是y=C+De^(--x).
非齐次方程的特解设为y=ax^3+bx^2+cx,
y'=3ax^2+2bx+c,y''=6ax+2b,
代入得3ax^2+(2b+6a)x+c+2b=x^2--1,于是
a=1/3,b=--1,c=1.
故通解为
y=C+De^(--x)+x^3/3--x^2+x.

令k=y'
则
k'+k=x^2-1
易得
其中一特解可写作ce^(-x)(c为x的函数)
带入得
c'e^(-x)-ce^(-x)+ce^(-x)=x^2-1
所以c'=(x^2-1)e^x
所以c=e^(x)(x^2-2x+1)+c1
所以k=ce^(-x)=c1e^(-x)+x^2-2x+1
所以y=∫(x^2-2x+1+c1e^(-x))dx=-c1e^(-x)+x^3/3-x^2+x+c2

y"+y'=X²-1
y'=x+1
y"=x-1