已知抛物线y=xx-1与x轴交于AB两点与y轴交于点C过点A作AP平行CB交抛物线于点P连接AC BC CP BP.在抛物线上是否存在一点M,过点M作MG垂直x轴于点G,使以AMG三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,

已知抛物线y=xx-1与x轴交于AB两点与y轴交于点C过点A作AP平行CB交抛物线于点P连接AC BC CP BP.在抛物线上是否存在一点M,过点M作MG垂直x轴于点G,使以AMG三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,
已知抛物线y=xx-1与x轴交于AB两点与y轴交于点C过点A作AP平行CB交抛物线于点P连接AC BC CP BP.
在抛物线上是否存在一点M,过点M作MG垂直x轴于点G,使以AMG三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,请求出M点坐标.否则,请说明理由.

已知抛物线y=xx-1与x轴交于AB两点与y轴交于点C过点A作AP平行CB交抛物线于点P连接AC BC CP BP.在抛物线上是否存在一点M,过点M作MG垂直x轴于点G,使以AMG三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,

抛物线y=x^2-1与x轴相交于A,B,与y轴相交于C

易求得A,B,C的坐标为A(-1,0),B(1,0),C(0,-1)

点P在抛物线上,设P(x,x^2-1),∵AP∥BC,∴有 (x^2-1-0)/(x+1)=(-1-0)/(0-1)

解得 x=2,∴ P=P(2,3)

∵k(AP)*k(AC)=3/3*(-1)/1=-1,∴AP⊥AC

易求得 AC=√2,AP=3√2；∴AP/AC=3

对△AMG,由题意知,MG⊥AG,∴只需比较MG和AG的大小

设M(m,m^2-1),则G(m,0)；且AG=|m+1|,MG=|m^2-1|

欲使△AMG∽△PCA,有两种情况：

①当AG>MG时,有AG/MG=AP/AC=3

此时,有 |m+1|/|m^2-1|=3 ,解得m=2/3或m=4/3

②当AG<MG时,有MG/AG=AP/AC=3

此时,有 |m^2-1|/|m+1|=3 ,解得m=-2或m=4

∴ 抛物线上存在4个点使得△AMG与△PCA相似,这四点分别为：

  M1(4/3,7/9),M2(2/3,-5/9),M3(-2,3),M4(4,15)

如图：