在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:23:17
在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠

在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数
在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数

在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数
题外话:
在△ABC中,BC=2AC,∠ACB=120°.有这两个条件就可以求∠ABC的度数了
怎么中间还那么多废话...
取BD的中点M,连接AM
由于BC=2AC,有CA=CM=MB
所以△AMC是以∠ACM为顶角的等腰三角形且∠ACM=120°
所以∠CMA=∠CAM=30°
设AC=1,则CA=CM=MB=1,则AM=√3(根号3,此处怕显示不出来)
则在△AMB中,∠BMA=150°,MB=1,AM=√3(根号3,此处怕显示不出来)
由余弦定理,AB=√7(根号7,此处怕显示不出来)
继续使用余弦定理
∠ABC=∠ABM=arccos(5√7/14)

如图
(1)∵BD=BC(已知),
∴∠D=∠BCD(等边对等角).
又∵∠DBC=120°,∠D+∠BCD+∠DBC=180°(三角形内角和定理),
∴∠D=∠BCD=30°.
∵∠ACB=120°,∠ACB=∠ACE+∠BCD,
∴∠ACE=90°;
(2)证明:过点B作BM⊥DC于点M.
在Rt△BMC中,由∠BCD=30°,得...

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如图
(1)∵BD=BC(已知),
∴∠D=∠BCD(等边对等角).
又∵∠DBC=120°,∠D+∠BCD+∠DBC=180°(三角形内角和定理),
∴∠D=∠BCD=30°.
∵∠ACB=120°,∠ACB=∠ACE+∠BCD,
∴∠ACE=90°;
(2)证明:过点B作BM⊥DC于点M.
在Rt△BMC中,由∠BCD=30°,得BM=1/2 BC.
∵BC=2AC,
∴AC=1/2 BC,
∴BM=AC.
在△BME与△ACE中,
∵ ∠BEM=∠AEC ∠BME=∠ACE BM=AC ,
∴△BME≌△ACE(AAS),
∴ME=CE=1/2 MC.
∵BD=BC,BM⊥DC,
∴DM=MC,
∴ME=CE=1/2 DM,
∴DE=3CE.

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