如图,点ABCD顺次在⊙o上,且弧AB=弧BD,BM⊥AC,垂足为点M,求证AM=DC+CM

如图,点ABCD顺次在⊙o上,且弧AB=弧BD,BM⊥AC,垂足为点M,求证AM=DC+CM
如图,点ABCD顺次在⊙o上,且弧AB=弧BD,BM⊥AC,垂足为点M,求证AM=DC+CM

如图,点ABCD顺次在⊙o上,且弧AB=弧BD,BM⊥AC,垂足为点M,求证AM=DC+CM

CN是DC的延长线,作BN⊥CN,连结BC,如图红色部分所示：

因为弧AB=弧BD,所以AB=BD

在直角三角形BMA 和 直角三角形BND中,有斜边AB=BD,

又因为∠BAC=∠BDC（同对一条弧）

所以可以知道上述两个直角三角形全等.

所以BN=BM,且AM=DN

又因为三角形BMC和三角形BNC都是直角三角形,共用一条斜边,即斜边相等,用勾股定理计算,不难得到：CM=CN

所以：DN=DC+CN=DC+CM    

又因为AM=DN

所以AM=DC+CM

证明：连接BC，作BN⊥DC，交DC的延长线于点N
∵弧AB=弧BD,
∴BA =BD
∵∠BAC =∠BDC,∠AMB =∠DNB
∴△ABM≌△DBN
∴BM=BN,AM =DN
∵BC=BC,∠BMC=∠BNC=90°
∴△BMC≌△BNC
∴CN =CM
∵AM=DN
∴AM=CD+CN=CD+CM

满意答案为方法一、
本人叙述方法二：
延长DC使得NC=CM连接BN，则∠BCN=∠BAD=∠BDA=∠BCA
可证：△BCN全等于△BCM；Rt△BAM全等于Rt△BDN
AC=DN
AM=DC+CM

在AM上找一点E，使ME=MC,那么BE=BC
∠BCE=∠BDA
所以等腰△ADB∽等腰△ECB
∠EBC=∠ABD
推出∠ABE=∠DBC
而∠BAE=∠BDC,BA=BD
∴△BAE≌BDC
AE=DC
AM=AE+EM=DC+CM