求1^2+2^2+.+n^2和会的朋友请给出详细解答.

求1^2+2^2+.+n^2和会的朋友请给出详细解答.
求1^2+2^2+.+n^2和
会的朋友请给出详细解答.

求1^2+2^2+.+n^2和会的朋友请给出详细解答.
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
全都加起来,左边中间可以抵消掉
(n+1)^3-1=3*[n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+……+2^2+1^2]+3*[n+(n-1)+……+3+2+1]+n*1
而(n+1)^3-1=(n+1-1)[(n+1)^2+(n+1)+1]
=n(n^2+3n+3)
n+(n-1)+……+3+2+1=n(n+1)/2
所以n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+……+2^2+1^2={[(n+1)^3-1]-3*[n+(n-1)+……+3+2+1]-n*1}/3
=[n(n^2+3n+3)-3n(n+1)/2-n]/3
=[n(n^2+3n+3-3n/2-3/2-1)]/3
=n(2n^2+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
数学归纳法证明
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
所以(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3...

全部展开

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
数学归纳法证明
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,
所以(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
移项得：2n^3+3n^2+n=63(1^2+2^2+3^2+....+n^2)
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式高中只要记结论就好了吧，过程可以不掌握的

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