（2009•黄石）如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运

（2009•黄石）如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运
（2009•黄石）如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由．
（3）当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

（2009•黄石）如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运
1、如图1因为EF//BC,所以∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCG,
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO,则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC,则OF=OC,所以OE=OF.
2、因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形,则EF必大于CF.
而菱形必须四边相等,所以四边形BCFE肯定不会是菱形.
3、要四边形AECF为正方形,先要求AECF为矩形,
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理,
因为OE=OF,只要OA=OC,则AECF为平形四边形,
又因为∠ECF=90°,则AECF为矩形.
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理,
只要AC⊥EF,则AECF为正方形,
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到,必须O为AC中点,而且要满足∠BCA=90°时,
四边形AECF才为正方形.

图！！
没图怎么做啊！

求图

图呢？

（1）OE=OF. 

其证明如下：

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠1=∠2. 

∵MN∥BC，

∴∠1=∠3. 

∴∠2=∠3. 

∴OE=OC. 

同理可证OC=OF. 

∴OE=OF. 

（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线. 

（3）当点O运动到AC中点时，OE=OF，OA=OC，则四边形AECF为矩形，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC. 

∵EF∥BC，

∴AC⊥BC，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，

∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.

证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）

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证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4= 12×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分

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[1] ∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
（3）当...

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[1] ∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
（3）当点O运动到AC中点时，OE=OF，OA=OC，则四边形AECF为矩形，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC.
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.

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