如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.若O为AB中点,求证：OF=1/2BE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:36:16
如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.若O为AB中点,求证：OF=1/2BE
如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.
若O为AB中点,求证：OF=1/2BE
如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.若O为AB中点,求证：OF=1/2BE
（只要证明F为AE中点即可,即AF=EF）
∵∠ADB=90°
又∠1=∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3=30°
∴∠DEB=60°,∠AFH=60°
∴∠CEF=∠DEB=60°,∠CFE=∠AFH=60°
∴△CEF为等边三角形
（现在只要证明CF=AF即可,其实这里证明∠3=∠4就好,但是我不会,只能想到下面的方法了,唉….）
∵BD=CD
∴∠1=∠BCD
又∵∠1=∠2
∴∠BCD=∠2
∴CD∥AB
根据两条直线平行,内错角相等∴∠3=∠ADC,△CDF是直角三角形
∴CE=DE
设DE=CE=1,利用Rt△BDE的正余弦定理(sin30°=0.5),可得BE=DE*sin30°=2,BD=DE*cot30°=√3
∴BD=CD=√3
根据正余弦定理,在Rt△CDF中,可得CF=CD*tan30°=1
而BC=BE+CE=3
∴在Rt△BCH中,可得CH=BC*sin30°=1.5
∴FH=CH-CF=0.5
∴在Rt△AFH中,可得AF=FH/sin30°=1
∴CF=AF
∴AF=EF
又∵O为AB中点
根据三角形中位线定理,可知OF∥BE且OF=1/2BE
（好艰难啊.学了好久都丢了,也不知道有没有更简单的方法.囧.）
证明：
∵ BD=CD，∠1=∠3
∴ ∠DCB=∠1=∠3
则 四边形ABCD共圆 （同弧上圆周角相等之逆定理）
∴ ∠ACB=∠ADB=90° ，∠1=∠4 （同弧上圆周角相等）
∵ ∠1=∠2=∠3 且 ∠1+∠2+∠3=180°-90°=90°
∴ ∠1=∠2=∠3=30°
∠CEF=∠2+∠3=30°+30°=60°
∵C...
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证明：
∵ BD=CD，∠1=∠3
∴ ∠DCB=∠1=∠3
则 四边形ABCD共圆 （同弧上圆周角相等之逆定理）
∴ ∠ACB=∠ADB=90° ，∠1=∠4 （同弧上圆周角相等）
∵ ∠1=∠2=∠3 且 ∠1+∠2+∠3=180°-90°=90°
∴ ∠1=∠2=∠3=30°
∠CEF=∠2+∠3=30°+30°=60°
∵CH⊥AB
∴ ∠BCH=90°-∠2=60°
则 △CEF为等边三角形
∵ ∠ACF=90°-∠BCH=30°=∠4
∴ CF=FC=FE
即F为AE的中点
∵ O是AB的中点
∴ OF是△ABE的中位线
则 OE∥=1/2BE （中位线定理）
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