a1＝2,an＝3﹙an﹣₁﹚＋2n＋1,求数列的通项公式an＝?

a1＝2,an＝3﹙an﹣₁﹚＋2n＋1,求数列的通项公式an＝?
a1＝2,an＝3﹙an﹣₁﹚＋2n＋1,求数列的通项公式an＝?

a1＝2,an＝3﹙an﹣₁﹚＋2n＋1,求数列的通项公式an＝?


祝：新年快乐,学业进步!

由an＝3a(n﹣₁)＋2n＋1得
a(n+1)＝3an＋2n＋3，
后式减前式，得
a(n+1)-an＝3[an-a(n﹣₁)]＋2，
由条件知a1=2，a2=11，
所以{a(n+1)-an}是首项为a2-a1=9，公差为3的等差数列，
故a(n+1)-an=9+3(n﹣1)=3n+6，
用迭加法，得
an...

全部展开

由an＝3a(n﹣₁)＋2n＋1得
a(n+1)＝3an＋2n＋3，
后式减前式，得
a(n+1)-an＝3[an-a(n﹣₁)]＋2，
由条件知a1=2，a2=11，
所以{a(n+1)-an}是首项为a2-a1=9，公差为3的等差数列，
故a(n+1)-an=9+3(n﹣1)=3n+6，
用迭加法，得
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+[an-a(n﹣₁)]=2+9+12+…+(3n+3)=2+(n﹣1)[9+(3n+3)]/2，
即an=2+3(n﹣1)(n+4)/2，显然n=1时也成立。
注：也可在an＝3a(n﹣₁)＋2n＋1两边同除以3ⁿ后用迭加法求得，这时右边求和需用错位相减法。

收起