是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由

是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由
是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由

是否存在直线l与曲线y=x²及y=lnx都相切,若存在求出l的条数并给出证明.若不存在,说明理由
先设满足此条件的切线存在,且与曲线y=x²及y=lnx分别相切于A(a,a²),B(b,lnb)
y=x²,y' = 2x,过A的切线斜率为p = 2a
y = lnx,y' = 1/x,过B的切线斜率为q = 1/b
都相切,则p = q,2a = 1/b,b = 1/(2a),B(1/(2a),ln(1/2a))
切线方程:y - a² = 2a(x - a)
B在切线上:ln(1/(2a)) - a² = 2a(1/(2a) - a)
a² = lna + ln2 + 1
即上述方程的解的个数为切线条数.
令f(a) = a² - lna - ln2 - 1
f'(a) = 2a - 1/a = 0
a = 1/√2
易知,0 < a < 1/√2时,f'(a) < 0
a > 1/√2时,f'(a) > 0
f(1/√2) = 1/2 - ln(1/√2) - ln2 - 1 = -(1 + ln2)/2 < 0
显然,a -> 正负无穷大时,f(a) -> 正无穷大
即在定义域内,f(a) = a² - lna - ln2 - 1 = 0 有两个解,满足题意的切线有两条.