已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与其交于A,B两点,若向量MA与向量MB的向量积=0,求k

已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与其交于A,B两点,若向量MA与向量MB的向量积=0,求k
已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与其交于A,B两点,若向量MA与向量MB的向量积=0,求k

已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与其交于A,B两点,若向量MA与向量MB的向量积=0,求k
很明显,抛物线C的焦点坐标为（2,0）,∴AB的方程可写成：y＝k（x－2）＝kx－2k,
∴A、B的坐标可分别设为（m,km－2k）、（n,kn－2k）,
∴向量MA＝（m＋2,km－2k－2）、向量MB＝（n＋2,kn－2k－2）.
联立：y＝kx－2k、y^2＝8x,消去y,得：k^2x^2－4k^2x＋4k^2＝8x,
∴k^2x^2－（4k^2＋8）x＋4k^2＝0.
显然,m、n是方程k^2x^2－（4k^2＋8）x＋4k^2＝0的两根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝（4k^2＋8）/k^2、mn＝4.
∵向量MA·向量MB＝0,∴（m＋2）（n＋2）＋（km－2k－2）（kn－2k－2）＝0,
∴mn＋2（m＋n）＋4＋k^2mn－（2k＋2）k（m＋n）＋（2k＋2）^2＝0,
∴（1＋k^2）mn－（2k^2＋2k－2）（m＋n）＋（2k＋2）^2＋4＝0,
∴4（1＋k^2）－（2k^2＋2k－2）（4k^2＋8）/k^2＋（2k＋2）^2＋4＝0,
∴（1＋k^2）－（2k^2＋2k－2）（k^2＋2）/k^2＋（k＋1）^2＋1＝0,
∴（1＋k^2）－（2k^4＋4k^2＋2k^3＋4k－2k^2－4）/k^2＋（k^2＋2k＋1）＋1＝0,
∴（1＋k^2）－（2k^2＋4＋2k－2）－（4k－4）/k^2＋k^2＋2k＋2＝0,
∴1－（4k－4）/k^2＝0,∴k^2－4k＋4＝0,∴（k－2）^2＝0,∴k＝2.

这样的小题也拿得出来～～答案就是此题无解！

k=X