89N = 10^(k+1) +1注：“ ^ ” 表示乘方,即k+1 次方N ,k都是正整数,

89N = 10^(k+1) +1注：“ ^ ” 表示乘方,即k+1 次方N ,k都是正整数,
89N = 10^(k+1) +1
注：“ ^ ” 表示乘方,即k+1 次方
N ,k都是正整数,

89N = 10^(k+1) +1注：“ ^ ” 表示乘方,即k+1 次方N ,k都是正整数,
89N=10^(k+1)+1=100...001,其中0的个数是K个.
所以原题就等价于：求出一个最小的K+2位数100...001(其中0的个数是K个),使得它能被89整除.
像这类题型,估计没有什么好的解法.只能是不断的试验,直到试出来为止.从101开始,1001、10001...,用它们分别去除以89,看能否整除.当试到21个0时的100...001,刚好能被89整除.商就是N,N=100...001÷89=112359550561797752809

89N=10^(k+1)+1=100...001，（中间有K个0）
右边个位为1，则左边个位也为1，所以N的个位只能为9，
不妨设N=10a+9,a为正整数，
所以
89（10a+9）=100...001
890a+801=100...001
89a=99...920，(k-2个9）
右边个位为0，则左边个位也为0，所以a的个位只能为0，

全部展开

89N=10^(k+1)+1=100...001，（中间有K个0）
右边个位为1，则左边个位也为1，所以N的个位只能为9，
不妨设N=10a+9,a为正整数，
所以
89（10a+9）=100...001
890a+801=100...001
89a=99...920，(k-2个9）
右边个位为0，则左边个位也为0，所以a的个位只能为0，
不妨设a=10b,b为正整数，(N=10a+9=100b+9)
89(10b)=99...920，(k-2个9）
89b=99...92，(k-2个9）
右边个位为2，则左边个位也为2，所以b的个位只能为8，
不妨设b=10c+8,c为正整数，(N=10a+9=100b+9=1000c+809)
89(10c+8)b=99...92，(k-2个9）
890c=99...9280，(k-4个9）
89c=99...928，(k-4个9）
设c=10d+2,d为正整数，(N=10a+9=100b+9=1000c+809=10000d+2809)
89(10d+2)=99...928，(k-4个9）
89d=99...975，(k-5个9）
设d=10e+5,e为正整数，(N=10000d+2809=100000e+52809)
89(10e+5)=99...975，(k-5个9）
89e=9...953，(k-6个9）
设e=10f+7,f为正整数，(N=100000e+52809=1000000f+752809)
89(10f+7)=9...953，(k-6个9）
89f=9...933，(k-7个9）
设f=10g+7,g为正整数，(N=1000000f+752809=10000000g+7752809)
89(10g+7)=9...933，(k-7个9）
89g=9...931，(k-8个9）
设g=10h+9,h为正整数，(N=1000000g+7752809=10000000h+97752809)
89(10h+9)=9...931，(k-8个9）
89h=9...913，(k-9个9）
设h=10i+7,i为正整数，(N=10000000h+97752809=100000000i+797752809)
89(10i+7)=9...913，(k-9个9）
89i=9...929，(k-10个9）

设i=10j+1,j为正整数，(N=100000000i+797752809=1000000000j+1797752809)
89(10j+1)=9...929，(k-10个9）
89j=9...984，(k-11个9）
设j=10m+6,m为正整数，(N=1000000000j+1797752809=10000000000m+61797752809)
89(10m+6)=9...984，(k-11个9）
89m=9...945，(k-12个9）
设m=10n+5,n为正整数，(N=100000000000n+561797752809)
89(10n+5)=9...945，(k-12个9）
89n=9...950，(k-13个9）
设n=100p+50,p为正整数，(N=10000000000000p+50561797752809)
89(100p+50)=9...950，(k-13个9）
89p=9...955，(k-15个9）
设p=10q+5,q为正整数，(N=100000000000000q+550561797752809)
89(10q+5)=9...955，(k-15个9）
89q=9...951，(k-16个9）
设p=10r+9,r为正整数，(N=1000000000000000r+9550561797752809)
89(10r+9)=9...951，(k-16个9）
89r=9...915，(k-17个9）
设r=10s+5,s为正整数，(N=10000000000000000s+59550561797752809)
89(10s+5)=9...915，(k-17个9）
89s=9...947，(k-18个9）
设s=10t+3,t为正整数，(N=100000000000000000t+359550561797752809)
89(10t+3)=9...947，(k-18个9）
89t=9...968，(k-19个9）
设t=10u+2,u为正整数，(N=1000000000000000000u+2359550561797752809)
89(10u+2)=9...968，(k-19个9）
89u=9...979，(前面k-20个9）
设u=10v+1,v为正整数，(N=10000000000000000000v+12359550561797752809)
89(10v+1)=9...979，(前面k-20个9）
89v=9...989，(前面k-21个9）
设v=10w+1,w为正整数，(N=10000000000000000000w+112359550561797752809)
89(10w+1)=9...989，(前面k-21个9）
89w=9...90，(前面k-21个9）
w=0,k=21,
N=112359550561797752809

收起

依题意N=[10^(k+1)+1]/89
当k=10时，N=[10^11+1]/89=1123595506
答案是k=10,N=1123595506