已知x²＋y²=1,求证：x/(1+y)－y/(1+x)=2(x－y)/1+x+y注意运用有关比例的知识（比如和比性质之类的）

已知x²＋y²=1,求证：x/(1+y)－y/(1+x)=2(x－y)/1+x+y注意运用有关比例的知识（比如和比性质之类的）
已知x²＋y²=1,求证：x/(1+y)－y/(1+x)=2(x－y)/1+x+y
注意运用有关比例的知识（比如和比性质之类的）

已知x²＋y²=1,求证：x/(1+y)－y/(1+x)=2(x－y)/1+x+y注意运用有关比例的知识（比如和比性质之类的）
∵x^2＋y^2＝1,　∴x^2＝1－y^2＝（1＋y）（1－y）,　∴x/（1＋y）＝（1－y）/x,
∴由等比定理,有：x/（1＋y）＝（1＋x－y）/（1＋x＋y）.······①
∵x^2＋y^2＝1,　∴y^2＝1－x^2＝（1＋x）（1－x）,　∴y/（1＋x）＝（1－x）/y,
∴由等比定理,有：y/（1＋x）＝（1－x＋y）/（1＋x＋y）.······②
①－②,得：
x/（1＋y）－y/（1＋x）
＝［（1＋x－y）－（1－x＋y）］/（1＋x＋y）
＝2（x－y）/（1＋x＋y）.
∴ x/（1＋y）－y/（1＋x）＝2（x－y）/（1＋x＋y）.

∵(X+Y+1)²=X²+Y²+1+2X+2Y+2XY=2+2X+2Y+2XY=2(1+X+Y+XY)
∴(X+Y+1)/(1+X+Y+XY)=2/(X+Y+1)
∴(X-Y)(X+Y+1)/(1+X+Y+XY)=2(X-Y)/(X+Y+1)
∴(X+X²-Y-Y²)/(1+X)(1+Y)=2(X-Y)/(X+Y+1)
∴[X(1+X)-Y(1-Y)]/(1+X)(1+Y)=2(X-Y)/(X+Y+1)
∴X/(1+Y)-Y/(1-X)=2(X-Y)/(X+Y+1)