已知A(-2,0),B(2,0),C(M,N)若m=1,根号3,求三角形的外接圆的方程,若以线段AB为直径的圆O过点C,直线X=2交直线AC于点R线段BR中点为D,判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的结论

已知A(-2,0),B(2,0),C(M,N)若m=1,根号3,求三角形的外接圆的方程,若以线段AB为直径的圆O过点C,直线X=2交直线AC于点R线段BR中点为D,判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的结论
已知A(-2,0),B(2,0),C(M,N)若m=1,根号3,求三角形的外接圆的方程,若以线段AB为直径的圆O过点C,直线X=2交直线AC于点R线段BR中点为D,判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的结论

已知A(-2,0),B(2,0),C(M,N)若m=1,根号3,求三角形的外接圆的方程,若以线段AB为直径的圆O过点C,直线X=2交直线AC于点R线段BR中点为D,判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的结论
圆的一般方程；直线与圆的位置关系．
专题：计算题；综合题；直线与圆．
分析：（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意,求得D,E,F即可；
法2：可求得线段AC的中点为（-
1
2
,
3
2
）,直线AC的斜率为k1=
3
3
及线段AC的中垂线的方程,从而可求△ABC的外接圆圆心及半径为r；
法3：可求得|OC|=2,而|OA|=|OB|=2,从而知△ABC的外接圆是以O为圆心,2为半径的圆；
法4：直线AC的斜率为k1=
3
3
,直线BC的斜率为k2=-
3
,由k1•k2=-1⇒AC⊥BC,⇒△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆；
（2）设点R的坐标为（2,t）,由A,C,R三点共线,而
AC
=（m+2,n）,
AR
=（4,t）,则4n=t（m+2）可求得t=
4n
m+2
,继而可求得直线CD的方程,于是可求得圆心O到直线CD的距离d=r,从而可判断直线CD与圆O相切．
（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意可得
4−2D+F＝0
4+2D+F＝0
1+3+D+
3
E+F＝0
,解得D=E=0,F=-4,
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0,即x2+y2=4．-----------------（6分）
法2：线段AC的中点为（-
1
2
,
3
2
）,直线AC的斜率为k1=
3
3
,
∴线段AC的中垂线的方程为y-
3
2
=-
3
（x+
1
2
）,
线段AB的中垂线方程为x=0,
∴△ABC的外接圆圆心为（0,0）,半径为r=2,
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．-----------------（6分）
法3：∵|OC|=
(1−0)2+(
3
−0)2
=2,而|OA|=|OB|=2,
∴△ABC的外接圆是以O为圆心,2为半径的圆,
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．-----------------（6分）
法4：直线AC的斜率为k1=
3
3
,直线BC的斜率为k2=-
3
,
∴k1•k2=-1,即AC⊥BC,
∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆,
∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．-----------------（6分）
（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,设点R的坐标为（2,t）,
∵A,C,R三点共线,
∴
AC
∥
AR
,----------------（8分）
而
AC
=（m+2,n）,
AR
=（4,t）,则4n=t（m+2）,
∴t=
4n
m+2
,
∴点R的坐标为（2,
4n
m+2
）,点D的坐标为（2,
2n
m+2
）,-----------------（10分）
∴直线CD的斜率为k=
n−
2n
m+2
m−2
=
(m+2)n−2n
m2−4
=
mn
m2−4
,
而m2+n2=4,∴m2-4=-n2,
∴k=
mn
−n2
=-
m
n
,-----------------（12分）
∴直线CD的方程为y-n=-
m
n
（x-m）,化简得mx+ny-4=0,
∴圆心O到直线CD的距离d=
4
m2+n2
=
4
4
=2=r,
所以直线CD与圆O相切．-----------------（14分）