求曲线X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)上点到原点的最长和最短距离

求曲线X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)上点到原点的最长和最短距离
求曲线X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)上点到原点的最长和最短距离

求曲线X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)上点到原点的最长和最短距离
限制条件：x^3+y^3-xy-1=0,x>=0,y>=0
目标函数：x^2+y^2


运用拉格朗日乘数方法


设f(x,y)=x^2+y^2 + k*(x^3+y^3-xy-1)
df/dx=0
df/dy=0
df/dk=0
（d为偏导）
得
2x+3k*x^2-k*y=0
2y+3k*y^2-k*x=0
x^3+y^3-xy-1=0
解起来好像有些困难,不过还是能得到一组解 x=y=1

又 x=0时y=1,y=0时x=1

联系图像观察即（?）可得 最长 根号2,最短 1


其实不严密,要是能把方程的解都解出来的话就行了

相当于x^2+y^2=R^2,求R，使x^2+y^2=R^2与X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)有交点，求满足要求的最大值和最小值，转换为求L(x,y)=x^2+y^2在约束条件X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)下的最值
用拉格朗日乘数法，f(x,y)=x^2+y^2+a(X^3+Y^3-XY-1);求偏导得三个方程，解得
x=y=1;
此时R=根号...

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相当于x^2+y^2=R^2,求R，使x^2+y^2=R^2与X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)有交点，求满足要求的最大值和最小值，转换为求L(x,y)=x^2+y^2在约束条件X^3+Y^3-XY=1(X>=0,Y>=0)下的最值
用拉格朗日乘数法，f(x,y)=x^2+y^2+a(X^3+Y^3-XY-1);求偏导得三个方程，解得
x=y=1;
此时R=根号2,最值还有可能在端点处取，即(1,0)和（0,1),分别为1,1，R=1，所以结果是
1和根号2

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