如图,在正方形ABCD的对角线AC上取点E,使得∠CDE=15°,连接BE,延长BE到F,使得CF=BC.求证：EF=CE+DE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 10:57:05
如图,在正方形ABCD的对角线AC上取点E,使得∠CDE=15°,连接BE,延长BE到F,使得CF=BC.求证：EF=CE+DE
如图,在正方形ABCD的对角线AC上取点E,使得∠CDE=15°,连接BE,延长BE到F,使得CF=BC.
求证：EF=CE+DE
如图,在正方形ABCD的对角线AC上取点E,使得∠CDE=15°,连接BE,延长BE到F,使得CF=BC.求证：EF=CE+DE
在EF上取一点G,使EG=EC,连结CG,
∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE．
∴∠CBE=∠CDE,
∵BC=CF,
∴∠CBE=∠F,
∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°,
∴∠CBE=15°,
∴∠CEG=60°．
∵CE=GE,
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°,CE=GC,
∴∠GCF=45°,
∴∠ECD=GCF．
∵在△DEC和△FGC中,
CE＝GC ,∠ECD＝GCF , CD＝CF
∴△DEC≌△FGC（SAS）,
∴DE=GF．
∵EF=EG+GF,
∴EF=CE+ED．
根据正方形的性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
全部展开
根据正方形的性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正确；
∵过F作FH⊥BC于H，
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=12BF=12，∴②错误；
根据已知能推出BE+EC=EF，∴③正确；
过A作AM⊥BD交于M，
根据勾股定理求出BD=2，
由面积公式得：AD×AB=BD×AM，
AM=12=22，
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴DM=22，EM=66，
∴S△AED=12DE×AM=14+312，∴④错误；
S△EBF=S△FBC-S△EBC=12×1×12-12×1×[1-（14+312）×21]=312，
收起