已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=1∶2,点E为边AB中点,点F是边BC上一动点,线段CE与线段DF交于点G.连接AG,若AD=2,AB=3,且△ADG与△CDF相似,求BF的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 21:08:09
已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=1∶2,点E为边AB中点,点F是边BC上一动点,线段CE与线段DF交于点G.连接AG,若AD=2,AB=3,且△ADG与△CDF相似,求BF的长
已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=1∶2,点E为边AB中点,点F是边BC上一动点,线段CE与线段DF交于点G.
连接AG,若AD=2,AB=3,且△ADG与△CDF相似,求BF的长
已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=1∶2,点E为边AB中点,点F是边BC上一动点,线段CE与线段DF交于点G.连接AG,若AD=2,AB=3,且△ADG与△CDF相似,求BF的长
解∵ABCD是等腰梯形,AD=2,AD：BC=1：2,∴BC=4,
∵AD∥BC,∴∠ADG=∠DFC,
∵△ADG与△CDF相似．
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1,当∠AGD=∠FDC时,有AG∥DC,延长CE交DA的延长线于点M,可得AM=4,
由 AG/DC=MA/MD得 AG/3=4/6,
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似,且∠AGD=∠FDC,
∴ AG/AD=DC/CF,即 2/2=3/CF,
∴CF=3
∴BF=1．
情况2,当∠DAG=∠FDC时,延长AG交BC于点T,可得△ABT∽△FCD,
则 ABBT=FCCD,由AD∥BC得 AD/FT=DG/GF=DM/CF,
∴FT= (4-x)/3,
∴ 3/[x+(4-x)/3]=(4-x)/3,
整理得：2x²-4x+11=0,
∵△=16-88＜0,
∴无解；
∴BF=1．
（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴AMBC=
AEEB，且DGGF=
DMCF
∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴DGGF=
63...
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（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴AMBC=
AEEB，且DGGF=
DMCF
∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴DGGF=
63=2．
（2）AG∥DC，且AGDC=
23．
证明：∵AD∥BC，
∴MGGC=
DGGF=
21，
∵MAAD=
4a2a=
21，
∴MGGC=
MAAD，
∴AG∥DC．
∴AGDC=
MAMD=
23．
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由AGDC=
MAMD得AG3=
46，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴AGAD=
DCCF，即22=
3CF，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则ABBT=
FCCD，由AD∥BC得ADFT=
DGGF=
DMCF，
设BF=x，可得FT=4-x3，
∴3x+
4-x3=
4-x3，
整理得：2x2-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．
收起