湖北省黄冈竞赛题.已知x+1=\sqrt{5x},则\sqrt{\frac{x²}{{x}^{4}+x²+1}}+\sqrt{\frac{x}{x²+3x+1}}的值为

湖北省黄冈竞赛题.已知x+1=\sqrt{5x},则\sqrt{\frac{x²}{{x}^{4}+x²+1}}+\sqrt{\frac{x}{x²+3x+1}}的值为
湖北省黄冈竞赛题.
已知x+1=\sqrt{5x},则\sqrt{\frac{x²}{{x}^{4}+x²+1}}+\sqrt{\frac{x}{x²+3x+1}}的值为

湖北省黄冈竞赛题.已知x+1=\sqrt{5x},则\sqrt{\frac{x²}{{x}^{4}+x²+1}}+\sqrt{\frac{x}{x²+3x+1}}的值为
两边平方
x²+2x+1=5x
x²-3x+1=0
或者x²=3x-1 (1)
3x=x²+1 (2)
再平方
x^4=9x²-6x+1
由(1)式
=9x²-2(x²+1)+1
=7x²-1 (3)
由(3)式
\sqrt{\frac{x²}{{x}^{4}+x²+1}}
=\sqrt{\frac{x²}{7x²-1+x²+1}}
=\sqrt{\frac{x²}{8x²}}
=\sqrt{\frac{1}{8}}
由(1)式
\sqrt{\frac{x}{x²+3x+1}}
=\sqrt{\frac{x}{3x-1+3x+1}}
=\sqrt{\frac{x}{6x}}
=\sqrt{\frac{1}{6}}
然后相加
=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{6}