微分方程,f'(x)+f(x)=e^x,求f(x)答案说f(x)=[e^(-x)][(1/2)e^(2x)+C],请问是怎么算出来的?

微分方程,f'(x)+f(x)=e^x,求f(x)答案说f(x)=[e^(-x)][(1/2)e^(2x)+C],请问是怎么算出来的?
微分方程,f'(x)+f(x)=e^x,求f(x)
答案说f(x)=[e^(-x)][(1/2)e^(2x)+C],请问是怎么算出来的?

微分方程,f'(x)+f(x)=e^x,求f(x)答案说f(x)=[e^(-x)][(1/2)e^(2x)+C],请问是怎么算出来的?
即是y'+y=e^x
特征方程为：λ+1=0,得;λ=-1
所以齐次方程的通解为y1=ce^(-x)
由非齐次项e^x,设特解为y*=ae^x
则代入方程得：ae^x+ae^x=e^x,得：a=1/2
所以原方程的通解为y=y1+y*=ce^(-x)+1/2*e^x
与答案是等价的.

e^x(f'(x)+f(x))=e^(2x)
(e^xf(x))'=e^(2x)
两边积分得：e^xf(x)=1/2e^(2x)+C
f(x)=e^(-x)(1/2e^(2x)+C)