在直线坐标平面上给定一曲线y^2=2x设点A的坐标为（a,0）,a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出d=f（a）的函数表达式.

在直线坐标平面上给定一曲线y^2=2x设点A的坐标为（a,0）,a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出d=f（a）的函数表达式.
在直线坐标平面上给定一曲线y^2=2x
设点A的坐标为（a,0）,a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出d=f（a）的函数表达式.

在直线坐标平面上给定一曲线y^2=2x设点A的坐标为（a,0）,a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d,并写出d=f（a）的函数表达式.

已知：曲线方程为y²=2x,
设P为其上一点,则：点P坐标为(x,√(2x)),
显然,有：x≥0
PA距离为f(a),有：f(a)=√{(x-a)²+[√(2x)]²}
f(a)=√(x²-2ax+2x+a²)
f(a)=√[x²-2(a-1)x+a²]
f(a)=√[x²-2(a-1)x+(a-1)²-(a-1)²+a²]
f(a)=√[(x-a+1)²+2a+1]
可见：当x-a+1=0时,f(a)取得最小值.
此时有：x=a-1
代入f(a),有：
f(a)min=√(2a+1)
此即为所求.

设曲线y^2=2x上的点P(2t^2,2t),则
AP^2=(2t^2-a)^2+(2t)^2
=4t^4+(4-4a)t^2+a^2
=[2t^2+(1-a)]^2+2a-1,
1)a<=1时t=0,AP^2取最小值a^2,d=|a|;
2)a>1时t=土√[(a-1)/2]，AP^2取最小值2a-1,d=√(2a-1).
∴d={|a|,a<=1;
{√(2a-1),a>1.

设曲线上到点A距离的最小值的点为（x0，y0）
d^2=(a-x0)^2+y0^2=a^2+x0^2-2ax0+2x0
a为定值，对x0求导
(d^2)'=2x0-2a+2
令(d^2)'=0求得x0=a-1,带入d^2算式
d=(2a-1)^(1/2)