如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+BF^2

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/21 11:30:01

如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+BF^2如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和

如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+BF^2
如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+BF^2

如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+BF^2
证明：延长FD,取点G,使DG＝FD,连接EG
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵DG＝FD,∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF
∴AG＝BF,∠DAG＝∠B
∵∠C＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠DAG＝90
∴∠EAG＝90
∴EG²＝AE²+AG²
∴EG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF,DF＝DG
∴ED垂直平分GF
∴EF＝EG
∴EF²＝AE²+BF²

全部展开

作DG⊥BC于G,DH⊥AC于H
设AB=c,AC=b,BC=a,GF=x,
则:CD=AD=BD=c/2
DH=BG=CG=a/2,DG=AH=CH=b/2
△DEH~△DFG,EH=DH*FG/DG=a/2*x/(b/2)=ax/b
AE^2+BF^2=(AH-EH)^2+(BG+GF)^2=(b/2-ax/b)^2+(a/2+x)^2=b^2+a^2x^2/b^2+a^2/4+x^2
EF^2=CE^2+CF^2=(CH+EH)^2+(CG-GF)^2=(b/2+ax/b)^2+(a/2-x)^2=b^2+a^2x^2/b^2+a^2/4+x^2
所以,EF^2=AE^2+BF^2

收起