长方形ABCD中,2EC=3BE,DF=4FC,.求图中阴影部分的面积是长方形ABCD的几分之几?

长方形ABCD中,2EC=3BE,DF=4FC,.求图中阴影部分的面积是长方形ABCD的几分之几?
长方形ABCD中,2EC=3BE,DF=4FC,.求图中阴影部分的面积是长方形ABCD的几分之几?

长方形ABCD中,2EC=3BE,DF=4FC,.求图中阴影部分的面积是长方形ABCD的几分之几?

设AB＝a﹙向量﹚,DA＝b,设DP＝tDB   DQ＝uDB  FP＝sFA,  EQ＝vEA
 
DP＝t﹙a+b﹚＝ta+tb
 
DP＝DF+FP＝﹙4/5﹚a+s﹙b-﹙4/5﹚a﹚＝﹙4/5﹚﹙1-s﹚a+sb
 
∴t＝﹙4/5﹚﹙1-s﹚   t＝s   消去s  t＝4/9
 
类似地 u＝5/7     PQ＝﹙5/7-4/9﹚DB＝﹙17/63﹚DB
 
DP∶PQ∶QB＝28∶17∶18
 
S⊿FPC＝﹙1/5﹚﹙28/63﹚﹙1/2﹚S﹙ABCD﹚＝﹙28/630﹚S﹙ABCD﹚
 
S⊿CPQ＝﹙17/126﹚S﹙ABCD﹚
 
S⊿CQE＝﹙3/5﹚﹙18/63﹚﹙1/2﹚S﹙ABCD﹚＝﹙54/630﹚S﹙ABCD﹚
 
∴阴影部分的面积＝[﹙28+85+54﹚/630]S﹙ABCD﹚＝﹙167/630﹚S﹙ABCD﹚
 
阴影部分的面积是长方形ABCD面积的630分之167.

为了求阴影部分面积，可以用三角形BCD的面积减去两个小三角形△BEH和△DFG的面积，

三角形BCD的面积为：BC×CD÷2；

三角形DFG的面积为：DF×h1÷2，而DF边上的高h1和AD之间有比例关系，因为三角形DFG的高h1比上三角形ABG的高为DF：AB=4：5，所以h1：AD=4：9，即：h1=4/9AD，所以三角形DFG的面积为：4/5CD×（4/9AD）÷2=16/45BC×CD÷2，因此△DFG的面积是△BCD的16/45；

同理，△BEH的面积是△BCD的4/35，因此阴影部分的面积为：

S△BCD - (16/45S△BCD) - (4/35)S△BCD=(1-16/45-4/35)S△BCD=167/315S△BCD

很显然，△BCD的面积是长方形ABCD面积的一半，所以阴影部分的面积是长方形面积的167/630