过抛物线C:Y方=8X上一点P(2,4)座倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交与A、B两点如果A、B两点均在该抛物线的下半支上,且直线A、B在Y轴上的截距为m,求△ABP面积的表达式

过抛物线C:Y方=8X上一点P(2,4)座倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交与A、B两点如果A、B两点均在该抛物线的下半支上,且直线A、B在Y轴上的截距为m,求△ABP面积的表达式
过抛物线C:Y方=8X上一点P(2,4)座倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交与A、B两点
如果A、B两点均在该抛物线的下半支上,且直线A、B在Y轴上的截距为m,求△ABP面积的表达式

过抛物线C:Y方=8X上一点P(2,4)座倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交与A、B两点如果A、B两点均在该抛物线的下半支上,且直线A、B在Y轴上的截距为m,求△ABP面积的表达式
两条直线的倾斜角互补,设一条直线的倾斜角为θ,斜率k = tanθ,另一直线的倾斜角为180˚ - θ,斜率k' = tan(180˚ - θ) = -tanθ = -k
前一直线的方程为y - 4 = k(x - 2),x = (y-4)/k + 2
代入y² = 8x,ky² -8y - 16k + 32 = 0
(y - 4)(ky + 4k - 8) = 0
y = 4 (点P)
y = (8 - 4k)/k,x = 2(k - 2)²/k²,A(2(k - 2)²/k²,(8- 4k)/k)
类似地,B(2(k + 2)²/k²,(-8 - 4k)/k)
AB的方程为:
[y + (8+4k)/k]/[(8-4k)/k + (8+4k)/k] = [x - 2(k + 2)²/k²]/[2(k - 2)²/k² - 2(k + 2)²/k²]
k²(x+ y) + 2k² - 8 = 0
取x = 0,y = (8 - 2k²)/k² = m
k² = 8/(m + 2) (m+2 > 0,m > -2)
AB² = [2(k - 2)²/k² - 2(k + 2)²/k²]² + [(8-4k)/k + (8+4k)/k]² = 2*16²/k² = 64(m+2)
AB = 8√(m+2)
P与AB的距离为h = |k²(2 + 4) + 2k² - 8|/√(k⁴ + k⁴)
= 8|k² - 1|/(√2k²)
= 4√2|8/(m+2) - 1|/[8/(m+2)]
= |6-m|/√2
S = (1/2)*AB*h = (1/2)*8√(m+2)*|6-m|/√2
= (2√2)|6-m|√(m+2)