在四棱锥p-abcd中,地面ABCD是边长为a的正方形,其对角线交点为o,侧面pad垂直地面ABCD,且PA=PD=[根号2/2]a求点o到面PAB的距离?怎么用空间向量的法向量求解此题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 04:24:55
在四棱锥p-abcd中,地面ABCD是边长为a的正方形,其对角线交点为o,侧面pad垂直地面ABCD,且PA=PD=[根号2/2]a求点o到面PAB的距离?怎么用空间向量的法向量求解此题
在四棱锥p-abcd中,地面ABCD是边长为a的正方形,其对角线交点为o,侧面pad垂直地面ABCD,且PA=PD=[根号2/2]a
求点o到面PAB的距离?
怎么用空间向量的法向量求解此题
在四棱锥p-abcd中,地面ABCD是边长为a的正方形,其对角线交点为o,侧面pad垂直地面ABCD,且PA=PD=[根号2/2]a求点o到面PAB的距离?怎么用空间向量的法向量求解此题
取AD中点为E,连接PE,
∵PA=PD
∴PE⊥AD
∵侧面PAD垂直底面ABCD,交线为AD
∴PE⊥底面ABCD
连接EO
∵ABCD为正方形
∴EA,EO,EP两两垂直
以E为原点建立坐标系E-xyz
则A(a/2,0,0),P(0,0,a/2),O(0,a/2,0),B(a/2,a,0)
向量PA=(a/2,0,-a/2),向量AB=(0,a,0)
向量AO=(-a/2,a/2,0)
设平面PAB的一个法向量m=(x,y,z)
那么m·PA=0,m·AB=0
∴{ax/2-az/2=0
{ y=0
取z=1,则x=1
∴m=(1,0,1)
∴O到平面PAB的距离
d=|AO·m|/|m|
=|-a/2|/√2=√2a/4
用法向量就复杂化啦，何必呢。DP垂直AP，DP的投影AD垂直AB所以DP垂直AB，所以DP垂直平面ABC，也就是四面体DABP的高，O是BD的中点，所以O到ABP的距离是DP的一半，就求出来了。。。如果非要用法向量解，那就在O点建立一个三维坐标系，先求PAB方程（AX+BY+CZ+D=0），其法向量则为（A,B,C）向量，然后垂线向量OH在法向量（A,B,C）上且H点在平面PAB上满足方程（AX+...
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用法向量就复杂化啦，何必呢。DP垂直AP，DP的投影AD垂直AB所以DP垂直AB，所以DP垂直平面ABC，也就是四面体DABP的高，O是BD的中点，所以O到ABP的距离是DP的一半，就求出来了。。。如果非要用法向量解，那就在O点建立一个三维坐标系，先求PAB方程（AX+BY+CZ+D=0），其法向量则为（A,B,C）向量，然后垂线向量OH在法向量（A,B,C）上且H点在平面PAB上满足方程（AX+BY+CZ+D=0）这两个已知条件就可以解出O点到PAB的垂线向量了。
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