在平面直角坐标系xoy中,点p到两点（0,根号3）（0,负根号3）的距离之和为4,设点p的轨迹为C十万火急!（1）求C的轨迹方程（2）设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 04:22:03
在平面直角坐标系xoy中,点p到两点（0,根号3）（0,负根号3）的距离之和为4,设点p的轨迹为C十万火急!（1）求C的轨迹方程（2）设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?
在平面直角坐标系xoy中,点p到两点（0,根号3）（0,负根号3）的距离之和为4,设点p的轨迹为C
十万火急!（1）求C的轨迹方程（2）设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?
在平面直角坐标系xoy中,点p到两点（0,根号3）（0,负根号3）的距离之和为4,设点p的轨迹为C十万火急!（1）求C的轨迹方程（2）设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?
(1)p的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,长轴为y轴,长半轴为4/2=2,焦距为√3,短半轴为√[2^2-(√3)^2]=1,所以p的轨迹方程为x^2/1^2＋y^2/2^2=1,即x^2＋y^2/4=1①.(2)将y=kx＋1代入①,得两个交点的坐标分别为x1=[2√(3＋k^2)-k]/(4＋k^2)、y1=[2k√(3＋k^2)＋4]/(4＋k^2)；x2=[-2√(3＋k^2)-k]/(4＋k^2)、y2=[-2k√(3＋k^2)＋4]/(4＋k^2)；如果OA⊥OB,那么有(y1/x1)×(y2/x2)=-1②,将x1、y1,x2、y2代入②得k=±1/2③,即所求直线有两条,分别为y=x/2＋1和y=-x/2＋1.
(1) 设两点分别为F1，F2 则 |PF1|+|PF2|=4 根据椭圆的第一定义可知P的轨迹C为椭圆 ∴ 2a = 4 → a = 2 ，c = √3 b² = a² - b² = 1 ∴ C：y² / 4 ＋x² = 1 (2) 设 A (x1，y1) ，B (x2，y2) ∵ 向量OA⊥向量OB 即 OA⊥OB ∴y1y2 ／x1x2 ＝ -1 (联立) ┌ y = kx + 1 └ x² + y² / 4 = 1 得 (4 + k² ) x² + 2kx - 3 = 0 得 x1x2 ＝ -3 ／4 + k² 同理可得 y1y2 = 4(1 - k²)／4 + k² 则 y1y2／x1x2 ＝ －[ 4(1 - k²)／(4+k²) × (4 + k²) / 3 ] ＝ -1 ∴ 4(1 - k)／3 ＝ 1 ∴1-k²= 3/4 → k² = 1/4 → k = ± 1/2 ∴当K= ±1/2 时 向量OA⊥向量OB 以下为同理详 (联立) ┌ y = kx + 1 └ x² + y² / 4 = 1 得 y²/4 + (y+1)²／k² = 1 得 (4 + k²)y² + 8y + 4(1-k²) = 0 得 y1y2 = 4(1 - k²)／4 + k² v 写了这么多总可以给我分吧？？