已知二次函数f(x)=ax²+bx,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.已知二次函数f(x)=ax²+bx(a,b为常数,且a≠0）,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.①求f(x)的解析式?②是否存在实数m,n(m＜n

已知二次函数f(x)=ax²+bx,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.已知二次函数f(x)=ax²+bx(a,b为常数,且a≠0）,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.①求f(x)的解析式?②是否存在实数m,n(m＜n
已知二次函数f(x)=ax²+bx,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
已知二次函数f(x)=ax²+bx(a,b为常数,且a≠0）,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
①求f(x)的解析式?
②是否存在实数m,n(m＜n）,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],如果存在,求出m,n的值,如果不存在,说明理由

已知二次函数f(x)=ax²+bx,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.已知二次函数f(x)=ax²+bx(a,b为常数,且a≠0）,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.①求f(x)的解析式?②是否存在实数m,n(m＜n
由题意知：
(1).f(1+x)=f(1-x）
对称轴是x=1
所以-b/(2a)=1
b=-2a
ax²+bx=x
ax²+(b-1)x=0
x[ax+(b-1)]=0
x=0,x=-(b-1)/a
等跟则-(b-1)/a=0
b=1
a=-b/2=-1/2
f(x)=-x²/2+x
(2)
f(x)=-(1/2)x^2+x=-(1/2)(x-1)^2+(1/2)
当x=1,f(x)有极大值1/2
如果x=1,在区间[m,n]上,那么3n=1/2,n=1/6,则x

不懂请问

1)
由f(1+x)=f(1-x)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-(1/2)x^2+x;
2)分别讨论：
若1=

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不懂请问

1)
由f(1+x)=f(1-x)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-(1/2)x^2+x;
2)分别讨论：
若1=3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m，n无解；
若m此时m=-4 n=0满足条件；
若m<1所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-4 n=0

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因为ax^2+bx-x=0有等根
所以b^2+4a=0
a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x)
得2a+b=0
解得a= -1 b= 2

方程f(x)=x有等根什么意思？

分析：
（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得...

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分析：
（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-b/2a，∴-b/2a=1①
又f（x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）2=0．②
由①，②得 b=1，a=-1/2,∴f(x)=-1/2x2+x
（2）∵f（x）=-1/2(x-1)∧2+1/2≤1/2
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤1/2，∴n≤1/6从而m＜n≤1/6＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
f(m)＝−1/2m2+m＝3m
f(n)＝−1/2n2+n＝3n
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．

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