在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=（a+b）^2-c^2,求tanC的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:06:14
在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=（a+b）^2-c^2,求tanC的值
在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=（a+b）^2-c^2,求tanC的值
在三角形ABC中,对边分别是a、b、c,若三角形ABC的面积为S,且2S=（a+b）^2-c^2,求tanC的值
S=absinC/2
c^2=a^2+b^2-2abcosC
代入2S=(a+b)^2-c^2
得absinC=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2-2abcosC)=2ab+2abcosC
sinC=2+2cosC
代入(sinC)^2+(cosC)^2=1
4+8cosC+4(cosC)^2+(cosC)^2=1
5(cosC)^2+8cosC+3=0
(5cosC+3)(cosC+1)=0
C是三角形内角
所以cosC=-1不成立
所以cosC=-3/5
三角形内角则sinC>0
所以sinC=4/5
所以tanC=sinC/cosC=-4/3
因S=1/2*absinC,所以2S=absinC.
所以，absinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2-c^2+2ab.
所以，sinC= (a^2+b^2-c^2)/ab+(2ab)/ab=( a^2+b^2-c^2)/ab+2.
由余弦定理知，cosC=( a^2+b^2-c^2)/2ab,所以，2cosC=( a^2+b^2-c^2)/ab.
全部展开
因S=1/2*absinC,所以2S=absinC.
所以，absinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2-c^2+2ab.
所以，sinC= (a^2+b^2-c^2)/ab+(2ab)/ab=( a^2+b^2-c^2)/ab+2.
由余弦定理知，cosC=( a^2+b^2-c^2)/2ab,所以，2cosC=( a^2+b^2-c^2)/ab.
所以，sinC=2cosC+2,两边都除以cosC得：tanC=2+2sec=2+2√（1+tan^2C）,
即tanC=2+2√（1+tan^2C）,
tanC-2=2√（1+tan^2C）,两边平方并化简得：tanC(3tanC+2)=0.
因tanC≠0,所以有3tanC+2=0,tanc=-2/3.
收起
S=1/2ab*sinC
原式：ab*sinC=（a+b）^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2=(a^2+b^2-c^2)+2ab
推出（a^2+b^2+c^2）=absinC-2ab=ab(sinC-2)
又根据余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC
推出2ab*cosC=(a^2+b^2-c^2)
所以2abcosC=ab（sinC...
全部展开
S=1/2ab*sinC
原式：ab*sinC=（a+b）^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2=(a^2+b^2-c^2)+2ab
推出（a^2+b^2+c^2）=absinC-2ab=ab(sinC-2)
又根据余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC
推出2ab*cosC=(a^2+b^2-c^2)
所以2abcosC=ab（sinC-2）推出2cosC=sinC-2
又因为sin^2C+cos^2C=1 联立两方程
得到5cos^2C+8cosC+3=0 （5cosC+3）（cosC+1)=0
所以解为cosC=-3/5 或cosC=-1
又因为在三角形中 0°＜角C＜180°
所以cosC=-3/5 sinC=4/5
所以tanC=-4/3
收起
由海伦公式有 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=16S²=4[(a+b)²-c²]²， c²-(a-b)²=4(a+b)²-4c²，即 c²=a²+b²+(6/5)ab，而由余弦定理有 c²=a²+b²-2ab*cosC，得 cosC=-3/5，tanC=-4/3 。