三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,B,C的对边,且a,b,c三边成等差数列,A-C=∏/3,求sinB的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 18:49:38
三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,B,C的对边,且a,b,c三边成等差数列,A-C=∏/3,求sinB的值
三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,B,C的对边,且a,b,c三边成等差数列,A-C=∏/3,求sinB的值
三角形ABC中,a,b,c分别是∠A,B,C的对边,且a,b,c三边成等差数列,A-C=∏/3,求sinB的值
a+c=2b
正弦定理
2RsinA+2RsinC=4RsinB
sinA+sinC=2sinB
又A-C=∏/3
A+B+C=∏
A=2∏/3-B/2 C=∏/3-B/2
sin（2∏/3-B/2）+sin（∏/3-B/2）=2sinB
√3/2cosB/2+√3/2cosB/2=4sinB/2cosB/2
sinB/2=√3/4
cosB/2=√13/4
sinB=2sinB/2cosB/2=√39/8
a+c=2b
正弦定理
2RsinA+2RsinC=2RsinB
sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)
2sin(A+C)/2cos(A-C)/2=4sin(A+C)/2cos(A+C)/2
cos(A-C)/2=2cos(A+C)/2=2sinB/2
sinB/2=√3/4
cosB/2=√13/4
sinB=2sinB/2cosB/2=√39/8
A-C=∏/3
A/B=B/C
综上可得B=60度
sinB==(根号3)/2
这个涉及到在三角函数的几个很重要的公式
公式如下：(和差化积公式)
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[-2sinαsinβ]
其他的也是相同的证明方法：
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos...
全部展开
这个涉及到在三角函数的几个很重要的公式
公式如下：(和差化积公式)
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[-2sinαsinβ]
其他的也是相同的证明方法：
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
=2[sinθ/2cosφ/2+cosθ/2sinφ/2][cosθ/2cosφ/2+
sinφ/2sinθ/2]
=2cosθ/2sinθ/2+2sinφ/2cosφ/2
=sinθ+sinφ
其他的也是相同方法证明：
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
那么就有你的题目的已知条件可得
2b=a+c
由正弦定理也可得
2sinB=sinA+sinC
又上面的和差化积的公式可得
4sinB/2cosB/2=2sin(A+C)/2cos(A-C)/2
2sinB/2=cos(A-C)/2
那么A-C=∏/3 也就是说2sinB/2=三分之根号三
也就是sinB=六分之根号三
收起