如图,在等边三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=CD,AD与BE交于F,AF=二分之一BF,求证CF⊥BE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 02:52:35
如图,在等边三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=CD,AD与BE交于F,AF=二分之一BF,求证CF⊥BE
如图,在等边三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=CD,AD与BE交于F,
AF=二分之一BF,求证CF⊥BE
如图,在等边三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=CD,AD与BE交于F,AF=二分之一BF,求证CF⊥BE
取BF中点P,连接CP交AD于Q
则：AF=BF/2=BP
因为：AE=CD,AC=AB,∠C=∠A=∠B
所以：△ABE≌△ADC,△ABD≌△BCE
所以：∠AEB=∠ADC,∠BAF=∠CBE
所以：△AEF∽△ADC
所以：∠C=∠AFE=PFQ=60°
因为：AF=BP,∠BAF=∠CBE,AB=BC
所以：△ABF≌△BPC
所以：BF=PC,∠AFB=∠BPC
因为：∠AFE=180°-∠AFB=180°-∠BPC=∠QPF=60°
所以：三角形PQF为等边三角形FQ=PQ=PC/2
所以：FQ为RT三角形PQF斜边中线
所以：CF垂直BE
另外:
在AB上取点G,使BG=CD=AE,连接GC与BE交于H,与AD交于I
因为 三角形ABC等边
所以 BC=AC=AB,角ABC=角BCA=角CAB=60度
因为 BG=CD=AE
所以 三角形GBC全等于三角形DCA全等于三角形EAB
所以 角BCG=角CAD=角ABE
因为 角ABC=角BCA=角CAB=60度
所以 角EBC=角GCA=角DAB
因为 BC=AC=AB,角BCG=角CAD=角ABE
所以 三角形BCH全等于三角形CAI全等于三角形AFB
所以 BF=CH=AI,BH=CI=AF
因为 AF=1/2BF
所以 HI=IC=FI=1/2BF
所以 角CFH=90度
所以 CF垂直于BE
证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， AB=CA∠BAE=∠CAE=CD ∴△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD， 又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°， ∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°， 又∵BP⊥AD， ∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°， ∴BQ=2PQ． 
