已知a,b,c属于R求证:b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 13:04:15
已知a,b,c属于R求证:b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)已知a,b,c属于R求证:b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)已知a,b,c属于R

已知a,b,c属于R求证:b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)
已知a,b,c属于R求证:b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)

已知a,b,c属于R求证:b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)
由均值不等式得:b²c²+c²a²≥2c²ab,c²a²+a²b²≥2a²bc,a²b²+b²c²≥2b²ac.三式相加得:b²c²+c²a²+a²b²≥2abc(a+b+c).

b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2=(b^2c^2+c^2a^2)/2+(b^2c^2+a^2b^2)/2+(c^2b^2+a^2b^2)/2
(b^2c^2+c^2a^2)/2>=abc^2
(b^2c^2+a^2b^2)/2>=ab^2c
(c^2a^2+a^2b^2)/2>=a^2bc
三项相加:
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)

由均值不等式得:b²c²+c²a²≥2c²ab,c²a²+a²b²≥2a²bc,a²b²+b²c²≥2b²ac.三式相加得:b²c²+c²a²+a²b²≥2abc(a+b+c).