已知函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若其定义域为R,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若其定义域为R,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若其定义域为R,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若其定义域为R,求实数a的取值范围
答：
f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1]定义域为R
则真数g(x)=(a²-1)x²+(a+1)x+1>0恒成立
1）a²-1=0并且a+1=0即a=-1时,g(x)=1>0,满足
2）当a²-1=0并且a+1≠0即a=1时,g(x)=2x+1>0在R上不恒成立,不满足
3）当a²-1<0时,抛物线g(x)开口向下,在R上总存在x使得g(x)<0,不满足
4）当a²-1>0时,g(x)无零点：
判别式=(a+1)²-4(a²-1)<0
3a²-2a-5<0
(3a-5)(a+1)>0
a<-1或者a>5/3
综上所述,a<=-1或者a>5/3

函数定义域为 R ，说明 (a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0 的解集为 R ，
因此 （1）a^2-1>0 ，且判别式 (a+1)^2-4(a^2-1)<0 ，（2）a^2-1=0 ，a+1=0
先解（1）。由 a^2-1>0 得 a< -1 或 a>1 ；
由 (a+1)^2-4(a^2-1)<0 得 a< -1 或 a>5/3 ，
取交集，得 （1）的...

全部展开

函数定义域为 R ，说明 (a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0 的解集为 R ，
因此 （1）a^2-1>0 ，且判别式 (a+1)^2-4(a^2-1)<0 ，（2）a^2-1=0 ，a+1=0
先解（1）。由 a^2-1>0 得 a< -1 或 a>1 ；
由 (a+1)^2-4(a^2-1)<0 得 a< -1 或 a>5/3 ，
取交集，得 （1）的解集为 a< -1 或 a>5/3 。
再解（2）。容易得到 a= -1 。
取（1）（2）的并，得 a 的取值范围为 a≤ -1 或 a>5/3 。

收起

∵其定义域为R
∴(a²-1)x²+(a+1)x+1恒大于0
a²-1>0,△=(a+1)²-4(a²-1)<0
a<-1,或a>1;a<-1,或a>5/3
∴a<-1,或a>5/3