四边形ABCD中,CD=200,角ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°求△ACD的面积和线段AB的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 21:58:11
四边形ABCD中,CD=200,角ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°求△ACD的面积和线段AB的长
四边形ABCD中,CD=200,角ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°求△ACD的面积和线段AB的长
四边形ABCD中,CD=200,角ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°求△ACD的面积和线段AB的长
【第一步】——解斜三角形△BCD
∠BCD = 120°,∠BDC=15°,则∠CBD = 180° -120° -15° = 45°
sin120° = sin(180°-120°) = sin60° = √3/2
sin45° = 1/√2
sin15° = √【(1-cos30°)/2】 ←（半角公式）
= √【(1-√3/2)*(1/2)】
= √【(3-2√3+1)*2/16】 = √2*(√3-1)/4
而 CD = 200,根据正弦定理 有
CD/sin∠CBD = BC/sin∠BDC = BD/sin∠BCD
则有,
BC = CD*sin∠BDC /sin∠CBD
= 200*sin15°/ sin45°
= 200*【√2*(√3-1)/4】/(1/√2)
= 100(√3-1)
BD = CD*sin∠BCD /sin∠CBD
= 200*sin120°/ sin45°
= 200*(√3/2)/(1/√2)
= 100√6
【第三步】——求△ACD面积
过点D作DM⊥AC于M,
∴DM = CD*sin∠DCM = 200*sin30° = 100
∴S△ACD = (1/2)*AC*DM
= (1/2)*【100√2+ 100√2*(√3 - 1)】*100
= 5000√6
答：S△ACD = 5000√6,线段AB长度为200√2.
S△ACD = 5000√6，线段AB长度为200√2.
1）面积 ∵ ∠ADC=105° ∠DAC=180-（105+30）=45° ∴ AC/Sin105=DC/Sin45° =200/Sin45 ∴ AC=200Sin105/Sin45=200*0.965/0.707=272.98=273 ∵ ∠ACD=30 ∴ 高DE=200/2=100 ∴ S△ACD=DE*AC/2=100*273/2=13650单位² 2）AB= BC/Sin15=200/Sin45 BC=200Sin15/Sin45=200*0.258/0.707=72.98=73 ∴ AB²=AC²+BC²=273²+73²=74529+5329=79858 ∴ AB=√79858=282.59 