F椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交AB两点,点P满足OA+OB+OP=0向量和1）证明点P在C上（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明A,P,B,Q四点在同一圆上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 06:10:10
F椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交AB两点,点P满足OA+OB+OP=0向量和1）证明点P在C上（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明A,P,B,Q四点在同一圆上
F椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交AB两点,点P满足OA+OB+OP=0向量和
1）证明点P在C上
（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明A,P,B,Q四点在同一圆上
F椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交AB两点,点P满足OA+OB+OP=0向量和1）证明点P在C上（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明A,P,B,Q四点在同一圆上
（1）对椭圆C：x2+y2/2=1,c²=a²-b²=2-1=1,∴c=1,焦点为F(0,1)
过焦点斜率为-√2的直线为：y=-√2x+1
代入椭圆方程得 x²+(-√2x+1)²/2=1,整理得 4x²-2√2x-1=0
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),向量OA+向量OB=向量OC,则C=C(x1+x2,y1+y2)
因 x1+x2=√2/2,y1+y2=-√2(x1+x2)+2=-1+2=1；∴C=C(√2/2,1)
因 OA+OB+OP=OC+OP=0, ∴OP=-OC
即向量OP与OC大小相等,方向相反,∴P=P(-√2/2,-1)
将P代入椭圆C方程,得 左边=(-√2/2)²+(-1)²/2=1/2+1/2=1=右边
∴点P在椭圆C上
（2）感谢楼下的评论,确实A, P, B, Q四点在同一圆上,当时没想到
证明如下：
直线AB与椭圆相交,由(1)中方程 4x²-2√2x-1=0 可解得
x1=(√2+√6)/4,x2=(√2-√6)/4；
AB直线方程为y=-√2x+1,对应可得 y1=(1-√3)/2,y2=(1+√3)/2
又P的对称点Q即为C,由(1)的求解过程已求得.故可知,A, P, B, Q四点的坐标为：
A((√2+√6)/4,(1-√3)/2), B((√2-√6)/4,(1+√3)/2), P(-√2/2,-1), Q(√2/2,1)
过任意两点的圆的圆心必在两点连线的中垂线上
已知AB斜率为-√2,易求得直线AB中点为E(√2/4,1/2),∴AB中垂线为 y-1/2=(x-√2/4)/√2
同理,PQ斜率为(-1-1)/(-√2/2-√2/2)=√2,PQ中点为O(0,0),∴PQ的中垂线为 y=-x/√2
联立两条中垂线,解得交点为M(-√2/8,1/8)
现在,欲证明A, P, B, Q四点在同一圆上,只需证明MA=MB=MP=MQ即可
而MA²=((√2+√6)/4+√2/8)²+((1-√3)/2-1/8)²=99/64 => MA=3/8*√11
MB²=((√2-√6)/4+√2/8)²+((1+√3)/2-1/8)²=99/64 => MB=3/8*√11
MP²=(-√2/2+√2/8)²+(-1-1/8)²=99/64 => MP=3/8*√11
MQ²=(√2/2+√2/8)²+(1-1/8)²=99/64 => MQ=3/8*√11
∴MA=MB=MP=MQ,可知A,P,B,Q四点在同一圆上,证毕
再次感谢楼下“浅浅...”的提醒,否则误导楼主了
贴张图片：
第二问，求出AP与AQ夹角余弦值和BP与BQ 的夹角余弦值，此二者互为相反数，对角互补，四点共圆。