求圆x^2+y^2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 21:19:39
求圆x^2+y^2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长?
求圆x^2+y^2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长?
求圆x^2+y^2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长?
x^2+y^2-4x+4y+6=0
(x^2-4x+4)+(y^2+4y+4)=2
(x-2)^2+(y+2)^2=2
圆心(2,-2),半径√2
圆心到直线的距离
|2+2-5|/√(1+1)=1/√2
弦长一半^2+(1/√2)^2=(√2)^2
弦长一半^2+1/2=2
弦长一半=√(3/2)=√6/2
弦长=√6
圆得方程化简得(x-2)^2+(y+2)^2=2
所以直线到圆心得距离为d=|2-(-2)-5|/根号2=(根号2)/2
而圆的半径为根号2，所截弦所对的弦心距为(根号2)/2
根据勾股定理，弦长l=2*(2-1/2)^2=根号2
将y=x-5代入圆的方程
x^2+(x-5)^2-4x+4(x-5)+6=0
或 2x^2-10x+11=0
有韦达定理，有 x1+x2=5 x1*x2=11/2
=> y1+y2=(x1-5)+(x2-5)=(x1+x2)-10=-5 y1*y2=(x1-5)(x2-5)=x1*x2-5(x1+x2)+25=11/2-5*5+25=11/2
弦长...
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将y=x-5代入圆的方程
x^2+(x-5)^2-4x+4(x-5)+6=0
或 2x^2-10x+11=0
有韦达定理，有 x1+x2=5 x1*x2=11/2
=> y1+y2=(x1-5)+(x2-5)=(x1+x2)-10=-5 y1*y2=(x1-5)(x2-5)=x1*x2-5(x1+x2)+25=11/2-5*5+25=11/2
弦长^2=(x1-x2)^2+(Y1+y2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2+(y1+y2)^2-4*y1*y2
=5^2-4*11/2+5^2-4*11/2=6
弦长=√6
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