已知四边形ABCD是平行四边形,且AC平方乘BD平方=AB四次方+AD四次方,求角DAB的度数.

已知四边形ABCD是平行四边形,且AC平方乘BD平方=AB四次方+AD四次方,求角DAB的度数.
已知四边形ABCD是平行四边形,且AC平方乘BD平方=AB四次方+AD四次方,求角DAB的度数.

已知四边形ABCD是平行四边形,且AC平方乘BD平方=AB四次方+AD四次方,求角DAB的度数.

如图,设AB=CD=a,AD=BC=b,∠DAB=α
那么,∠ABC=180°-α
由余弦定理有：AC^2=a^2+b^2-2abcos(180°-α)=a^2+b^2+2abcosα
BD^2=a^2+b^2-2abcosα
所以,AC^2*BD^2=(a^2+b^2+2abcosα)(a^2+b^2-2abcosα)
=(a^2+b^2)^2-(2abcosα)^2
=a^4+b^4+2a^2b^2-4a^2b^2cos^2 α=a^4+b^4
===> 2a^2b^2-4a^2b^2cos^2 α=0
===> 4a^2b^2cos^2 α=2a^2b^2
===> cos^2 α=1/2
===> cosα=±√2/2
所以,α=45°,或者α=135°
即,∠DAB=45°,或者∠DAB=135°