已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c,求该双曲线的离心率的取值范围.

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c,求该双曲线的离心率的取值范围.
已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c,求该双曲线的离心率的取值范围.

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c,求该双曲线的离心率的取值范围.
在△PF1F2中,由正弦定理,
sinPF1F2/sinPF2F1=PF2/PF1=a/c,
由焦半径公式,（ex0-a)/(ex0+a)=1/e,其中x0是P点的横坐标,
∴e^2x0-ae=ex0+a,
(e^2-e)x0=a(e+1),
x0=a(e+1)/(e^2-e),
在双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0.b>0)中|x0|>=a,e>1,
∴(e+1)/(e^2-e)>=1,
e+1>=e^2-e,
e^2-2e-1