1+x+x(1+x)+x(1+x)²+.+x(1+x)的2012次方

1+x+x(1+x)+x(1+x)²+.+x(1+x)的2012次方
1+x+x(1+x)+x(1+x)²+.+x(1+x)的2012次方

1+x+x(1+x)+x(1+x)²+.+x(1+x)的2012次方
1+x和 x(1+x)合并成(1+x)^2
(1+x)^2和x(1+x)^2合并成(1+x)^3
(1+x)^3和x(1+x)^3合并成(1+x)^4
...
...
(1+x)^2012和x(1+x)^2012合并成(1+x)^2013
所以最后等于(1+x)^2013 懂了吧

∵x=x(1+x)^0
∴x+x(1+x)+x(1+x)²+。。。。。+x(1+x)^2012是以x为首项，1+x为公比的等比数列，项数为2013
则根据等比数列求和公式有：
1+x+x(1+x)+x(1+x)²+。。。。。+x(1+x)^2012
=1+x[1-(1+x)^2013]/[1-(1+x)]
=1+x[1-(1+x)^2...

全部展开

∵x=x(1+x)^0
∴x+x(1+x)+x(1+x)²+。。。。。+x(1+x)^2012是以x为首项，1+x为公比的等比数列，项数为2013
则根据等比数列求和公式有：
1+x+x(1+x)+x(1+x)²+。。。。。+x(1+x)^2012
=1+x[1-(1+x)^2013]/[1-(1+x)]
=1+x[1-(1+x)^2013]/(-x)
=1-[1-(1+x)^2013]
=(1+x)^2013
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