已知实数a,b满足(a-2)²=3(a-2) -1,(b-2)²=3(b-2) -1,求b/a+ a/b的值

已知实数a,b满足(a-2)²=3(a-2) -1,(b-2)²=3(b-2) -1,求b/a+ a/b的值
已知实数a,b满足(a-2)²=3(a-2) -1,(b-2)²=3(b-2) -1,求b/a+ a/b的值

已知实数a,b满足(a-2)²=3(a-2) -1,(b-2)²=3(b-2) -1,求b/a+ a/b的值
由已知得a-2,b-2是方程x²-3x+1=0的两根.由韦达定理得
(a-2)+(b-2)=3
(a-2)(b-2)=1
a+b=7
ab-2(a+b)+4=1
ab=1+2(a+b)-4=1+2×7-4=11
b/a+a/b=(b²+a²)/(ab)
=[(a+b)²-2ab]/(ab)
=(7²-2×11)/11
=27/11

将(a-2)²=3(a-2)-1化成一般形式得：a²-7a+11=0,△=b²-4ac=7²-4*1*11=5>0,则a1=(7+根号5)÷2，a2=(7-根号5)÷2；同理：b1=(7+根号5)÷2，b2=(7-根号5)÷2。所以b/a+a/b=2或18/7

若a=b，则b/a+ a/b=2。（题目没有说a、b不等，故需考虑相等的情况）
若a≠b，由已知，a、b是方程(x-2)^2=3(x-2) - 1的两根，
(x-2)^2=3(x-2) - 1 <=> (x-2)^2-3(x-2) + 1 =0 <=> (x-2-3)(x-2) + 1 =0
<=> (x-5)(x-2) + 1 =0 <=> ...

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若a=b，则b/a+ a/b=2。（题目没有说a、b不等，故需考虑相等的情况）
若a≠b，由已知，a、b是方程(x-2)^2=3(x-2) - 1的两根，
(x-2)^2=3(x-2) - 1 <=> (x-2)^2-3(x-2) + 1 =0 <=> (x-2-3)(x-2) + 1 =0
<=> (x-5)(x-2) + 1 =0 <=> x^2-7x + 11 =0 （该方程有两个相异实根）
由韦达定理，a+b=7，a*b=11。

b/a+ a/b
=(a^2+b^2)/(ab)
=[(a+b)^2-2ab]/(ab)
=(a+b)^2/ab-2
=7^2/11-2
=27/11

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