如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE^2+BF^2=EF^2巨难,好的再加
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:18:48
如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE^2+BF^2=EF^2巨难,好的再加
如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE^2+BF^2=EF^2
巨难,好的再加
如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE^2+BF^2=EF^2巨难,好的再加
解一:
证明:
以D为圆点,DB为半径,将DB边逆时针旋转180度,此时BD边和AD边重合
B点和A点重合,记F点旋转到F'
∴AF'=FB,DF=DF',∠ADF'=∠FDB
∵D是AB边的中点,
∴此时B点和A点重合
∵Rt△ABC中,∠C是Rt角
∴∠A和∠B互余
∴∠CAF'=90度
∴在Rt△AEF'中,AE方+F'B方=EF'方
∵DF=DF',且∠ADF'=∠FDB
∴ED垂直平分FF'
∴EF=EF'
∴AE方+AF'方=AE方+FB方=EF'方=EF方
命题得证
解二:
连接EF、DE、DF.作辅助线CD
证明△ADE全等于△CDF
因为∠EAD=∠FCD=45 AD=CD ∠EDA=∠FDC
所以△ADE全等于△CDF
所以AE=CF 又因AC=BC 所以CE=BF
因为CF的平方+CE的平方=EF的平方
所以AE的平方+BF的平方=EF的平方
用射影定理 或看其证明过程。
然后你会发现不很难的
假设AE
过D做AC，BC垂线，垂足P，Q
则：DP=DQ,AP=BQ=AC/2
因为：
∠DFB+∠AED
=360°-∠A-∠B-∠ADE-∠BDF
=360°-∠A-∠B-∠EDF
=180°
所以：∠DFB=∠DEP
所以：△DEP≌△DFQ
EP=FQ
所以：AE+BF=A...
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假设AE
过D做AC，BC垂线，垂足P，Q
则：DP=DQ,AP=BQ=AC/2
因为：
∠DFB+∠AED
=360°-∠A-∠B-∠ADE-∠BDF
=360°-∠A-∠B-∠EDF
=180°
所以：∠DFB=∠DEP
所以：△DEP≌△DFQ
EP=FQ
所以：AE+BF=AP-PE+BQ+QF=2AP=AC
AC=√2AD
cosA=cosB
DE^2+DF^2
=AE^2+AD^2-2AE*AD*cosA+BF^2+AD^2-2BF*AD*cosB
=AE^2+BF^2+2AD^2-√2（AE+BF)AD
=AE^2+BF^2+2AD^2-√2*√2AD*AD
=AE^2+BF^2
因为RT三角形EDF中：
EF^2=DE^2+DF^2
所以：
AE^2+BF^2=EF^2
收起
因为：,∠C=90°,∠B=45°，故：∠A=45°
所以：AC=BC
又：D为AB中点，
所以：CD⊥AB，∠CDA=∠CDB=90°，AD=BD=CD
因为：DE⊥DF
所以：∠EDF=90°=∠EDC+∠CDF
∠EDF=90°，故【∠EDA+∠FDB=90°】
【∠EDA+∠CDE=90°】
所以：∠CDE=∠...
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因为：,∠C=90°,∠B=45°，故：∠A=45°
所以：AC=BC
又：D为AB中点，
所以：CD⊥AB，∠CDA=∠CDB=90°，AD=BD=CD
因为：DE⊥DF
所以：∠EDF=90°=∠EDC+∠CDF
∠EDF=90°，故【∠EDA+∠FDB=90°】
【∠EDA+∠CDE=90°】
所以：∠CDE=∠FDB,同理：∠CDF=∠ADE
在△CDE和△BDF中
CD=BD,∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠FBD=45°
所以：△CDE和△BDF全等
【BF=CE】
同理：△ADE和△CDF全等,故【AE=CF】
因为：∠C=90°
所以：△CEF是直角三角形
根据勾股定理
CE^2+CF^2=EF^2
因为：BF=CE，AE=CF
所以：AE^2+BF^2=EF^2
收起
你这没图片啊？你用开始=》程序=》附件=》画图
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