设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明根号下是x^2+1

设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明根号下是x^2+1
设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明
根号下是x^2+1

设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时,试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性,并加以证明根号下是x^2+1
方法一：
∵f（x）＝√（x^2＋1）－ax,
∴f′（x）＝（x^2＋1）′/［2√（x^2＋1）］－a＝x/√（x^2＋1）－a.
∵x≧1,∴x^2＜x^2＋1,∴x＜√（x^2＋1）,∴x/√（x^2＋1）＜1,而a≧1,∴f′（x）＜0,
∴f（x）在区间［1,＋∞）上是减函数.
方法二：
引入两个自变量：x1、x2,且x2＞x1＞1.
显然有：x2^2＞x1^2,∴（x1x2）^2＋x2^2＞（x1x2）^2＋x1^2,
∴x2^2（x1^2＋1）＞x1^2（x2^2＋1）,∴x2√（x1^2＋1）＞x1√（x2^2＋1）,
∴（x1^2＋1）＋2x2√（x1^2＋1）＋x2^2＞（x2^2＋1）＋2x1√（x2^2＋1）＋x1^2,
∴［√（x1^2＋1）＋x2］^2＞［√（x2^2＋1）＋x1］^2＞1,
∴√（x1^2＋1）＋x2＞√（x2^2＋1）＋x1,
∴x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）＞0.
∵a≧1,∴a（x2－x1）≧x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）,
∴√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0.
∴f（x2）－f（x1）
＝√（x2^2＋1）－ax2－［√（x1^2＋1）－ax2］
＝√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0.
∴f（x）在区间［1,＋∞）上是减函数.