怎么证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关?还有证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关?

怎么证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关?还有证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关?
怎么证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关?还有证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关?

怎么证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关?还有证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关?
1,sinx,sin2x,……,sin(nx)都是属于[-π,π]的连续函数,而所有的这样的连续函数可以构成一个线性空间,而且是一个希尔贝特空间,可以定义内积.
而1,sinx,sin2x,……,sin(nx),.正好是其中的一组傅里叶正交基.
可以证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)中任意两个函数的内积为零,就说明它们相互正交,即线性无关了.
此内积定义为(1/2π)∫f(x)g(x)dx,其中f(x)和g(x)是连续函数,积分上下限是-π和π
∫sin(nx)dx=-[cos(nx)]/n |(-π,π)=0,所以1和sinx,sin2x,……,sin(nx)都正交
∫sin(nx)sin(mx)dx=-m/(m²-n²) sin(nx)cos(mx)-n/(n²-m²) sin(mx)cos(nx) |(-π,π)=0
所以sinx,sin2x,……,sin(nx)之间相互正交,所以1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关.
证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关的方法与前面不同,明显他们之间不是相互正交的.
同上我们还可以证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)和cosx,cos2x,……,cos(nx)之间都是相互正交的.
1,sinx之间线性无关以证,由于(sinx)^2可以由cos2x,1线性表出,而cos2x又与1,sinx线性无关.
所以1,sinx,(sinx)^2之间线性无关,
同理依次可以推出(sinx)^3与1,sinx,(sinx)^2线性无关
(sinx)^4与1,sinx,(sinx)^2,(sinx)^3线性无关
.
(sinx)^n与1,sinx,(sinx)^2,.,(sinx)^(n-1)线性无关.
得证.